Гипотеза Била

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма: если $A^x+B^y=C^z$, где $A,B,C,x,y,z\in \mathbb{N}$ и $x,y,z>2$, то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Шаблон:Не переведено 2, который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших $z$, а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма (доказанной в 1995 году Эндрю Уайлсом).

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000. 24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа $n>2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^n+B^n=C^n$. Тогда гипотеза Била для $x=y=z=n$ влечёт существование простого числа $p$, делящего каждое из чисел $A$, $B$ и $C$. Но тогда $(A/p{)}^n+(B/p{)}^n=(C/p{)}^n$, а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству $A^n+B^n=C^n$, можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья $n$-я степень является суммой $n$-х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел $n$, $A$, $B$, $C$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

Ссылки

• The Beal Conjecture Шаблон:Wayback
• The Beal Conjecture and Prize Шаблон:Wayback
• Шаблон:Статья
• Шаблон:PlanetMathШаблон:Недоступная ссылка
• Beal@Home Шаблон:Wayback — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.