Центр окружности девяти точек

Шаблон:Центр треугольника Центр окружности девяти точек — одна из замечательных точек треугольника. Её часто обозначают как $O_9$.

Окружность девяти точек, или окружность Эйлера, проходит через девять важных точек треугольника — середины сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Центр этой окружности указан как точка X(5) в энциклопедии центров треугольника Кларка КимберлингаШаблон:Sfn.

Свойства

• Центр окружности девяти точек $O_9$ лежит на прямой Эйлера треугольника посредине между ортоцентром $H$ и центром описанной окружности $O$. Центроид $M$ также лежит на этой линии на расстоянии 2/3 от ортоцентра к центру описанной окружностиШаблон:Sfn, так, что

$O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M.$

Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.

• Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера, показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри Шаблон:Не переведено 5 (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности — это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольникШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Расстояние от центра окружности девяти точек до инцентра $I$ удовлетворяет формулам:

$I{O}_9<\frac{1}{2}IO,$

$I{O}_9=\frac{1}{2}(R-2r)<\frac{R}{2},$

$2R\cdot I{O}_9=O{I}^2,$

где $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Центр окружности девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника, ортотреугольника и треугольника ЭйлераШаблон:Sfn. Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек.
• Центр окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентра.
• Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
• Таким образом, центр окружности девяти точек служит центром симметрии, переводящим серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) Шаблон:Sfn.
• Согласно теореме Лестера центр окружности девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности Шаблон:Sfn.

Точка Коснита, изогонально сопряженная центру окружности девяти точек

• Точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты, изогонально сопряжена центру окружности девяти точекШаблон:Sfn. (см. рис.)
• Прямая $X(485)X(486)$, проходящая через две точки Вектена $X(485)$ и $X(486)$, пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника $ABC$.

Координаты

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек равныШаблон:Sfn:

$\cos (B-C):\cos (C-A):\cos (A-B)$

$=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B$

$=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B$

$=bc[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2{)}^2]:ca[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2{)}^2]:ab[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2{)}^2].$

Барицентрические координаты центра равны:

$a\cos (B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B)$

$=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2{)}^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2{)}^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2{)}^2.$

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Mathworld