Неравенство Гаека — Реньи

Неравенство Гаека — Реньи в теории вероятностей названо по имени Ярослава Гаека и Альфреда Реньи.

Формулировка

Если случайные величины ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n,...$ являются независимыми, $M{\xi }_k=a_k,D{\xi }_k={\sigma }_k^2,k=1,2,...$, а $C_1,C_2,...$ — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого $\epsilon >0$ и для всех $m,n\in \mathbb{N},m<n,$ выполнено

$P(\underset{m⩽k⩽n}{\max }{C}_k\left|\sum _{i=1}^k({\xi }_i-a_i)\right|>\epsilon )⩽\frac{1}{{\epsilon }^2}(C_m^2\sum _{k=1}^m{\sigma }_k^2+\sum _{k=m+1}^n{C}_k^2{\sigma }_k^2)$

Доказательство

Введём следующие обозначения:

$S_k=\sum _{i=1}^k({\xi }_i-a_i)$ ,

$\eta =\sum _{k=m}^{n-1}{S}_k^2(C_k^2-C_{k+1}^2)+S_n^2{C}_n^2$

Найдем математическое ожидание $\eta$ и преобразуем его к удобному виду:

$𝖬\eta =\sum _{k=m}^{n-1}(C_k^2-C_{k+1}^2)𝖬S_k^2+C_n^2𝖬S_n^2=\sum _{k=m}^{n-1}\sum _{i=1}^k{\sigma }_i^2(C_k^2-C_{k+1}^2)+C_n^2\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2=$

$=\sum _{i=1}^m\sum _{k=m}^{n-1}{\sigma }_i^2(C_k^2-C_{k+1}^2)+C_n^2\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2=\sum _{i=1}^m{\sigma }_i^2(C_m^2-C_n^2)+\sum _{i=m+1}^{n-1}{\sigma }_i^2(C_i^2-C_n^2)+C_n^2\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2=C_m^2\sum _{i=1}^m{\sigma }_i^2+\sum _{i=m+1}^n{\sigma }_i^2{C}_i^2$

Рассмотрим следующие случайные события для некоторого $\epsilon >0$

$A_i=\{\omega \in \mathrm{\Omega }:C_k\left|S_k\left(\omega \right)\right|\le \epsilon ,m\le k\le i-1,C_i\left|S_i\left(\omega \right)\right|>\epsilon \},i=\overline{m,n}$

События $A_i,i=\overline{m,n},$ являются несовместными. Значит,

$P(\underset{m\le k\le }{\max }{C}_k\left|\sum _{i=1}^k({\xi }_i-a_i)\right|>\epsilon )=P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=m}^{n}P\left(A_i\right)$

Теорема будет доказана, если будет установлено неравенство:

$𝖬\eta \ge {\epsilon }^2\sum _{i=m}^{n}P\left(A_i\right)$

Докажем его:

$𝖬\eta \ge 𝖬\eta \sum _{i=m}^n{I}_{A_i}=\sum _{i=m}^n𝖬\eta I_{A_i},$

$𝖬\eta I_{A_i}=\sum _{k=m}^{n-1}(C_k^2-C_{k+1}^2)𝖬S_k^2{I}_{A_i}+C_n^2𝖬S_n^2{I}_{A_i}$

$𝖬\eta I_{A_i}=𝖬{(S_k-S_i+S_i)}^2{I}_{A_i}\ge 𝖬S_i^2{I}_{A_i}+2𝖬(S_k-S_i)S_i{I}_{A_i}=𝖬S_i^2{I}_{A_i}+2𝖬(S_k-S_i)𝖬S_i{I}_{A_i}\ge 𝖬\frac{{\epsilon }^2}{C_i^2}{I}_{A_i}=\frac{{\epsilon }^2}{C_i^2}P\left(A_i\right)$

Следствие (неравенство Колмогорова)

Если случайные величины ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n,...,$ независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то

$P(\underset{1\le k\le n}{\max }\frac{1}{k}\left|\sum _{i=1}^k({\xi }_i-𝖬{\xi }_i)\right|>\epsilon )\le \frac{1}{{\epsilon }^2}\sum _{k=1}^n\frac{D{\xi }_k}{k^2}$

Доказательство

Доказательство вытекает из неравенства Гаека — Реньи, если

$C_k=\frac{1}{k},$

$m=1$

Это неравенство можно записать в виде:

$P(\underset{1\le k\le n}{\max }\frac{1}{k}\left|\sum _{i=1}^k({\xi }_i-𝖬{\xi }_i)\right|>\epsilon )\le \frac{1}{{\epsilon }^2}\sum _{k=1}^{n}D{\xi }_k$

Литература

• Шаблон:Книга (Глава 6 § 3 раздел 2)

См. также

• Закон больших чисел
• Центральная предельная теорема