Крутильный маятник

Файл:Torsion-pendulum.ogv Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник, враща́тельный ма́ятник) — механическая система, представляющая собой тело с упругим элементом, которое может вращаться вокруг одной оси и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг этой оси, задаваемой подвесом. Если при повороте тела в упругом элементе возникает момент силы $M,$ пропорциональный углу поворота $\phi$ с обратным знаком к углу поворота, $(M=-\kappa \phi ),$ причём, если силы трения в системе малы, то тело может колебаться по гармоническому закону с периодом $T:$

$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa }},$

где $I$ — момент инерции тела относительно оси кручения,

$\kappa$ — вращательный коэффициент жёсткости упругого элемента.

Крутильный маятник специальной конструкции представляет собой очень чувствительный к малым силам физический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе.

Крутильным маятником является балансир — деталь спускового механизма механических часов, вращательные колебания которого задают темп ход часов и определяют точность их хода.

В 2005 году было опубликовано сообщение о создании крутильного маятника, торсионный подвес которого выполнен из углеродной нанотрубки со стенкой толщиной в один атомный слой.

Крутильный маятник как гармонический осциллятор

Обозначения

Обозначение	Размерность	Определение
$\theta$	рад	Угол отклонения от положения равновесия
$I$	кг·м2	Момент инерции
$\sigma$	Дж·с·рад−1	Коэффициент вязкого трения
$\kappa$	Н·м·рад−1	Торсионная жёсткость подвеса
$\tau$	Н·м	Крутящий момент
$f_n$	Гц	Собственная частота колебаний маятника без трения
$T_n$	с	Период собственных колебаний маятника без трения
${\omega }_n$	рад·с−1	Собственная частота осциллятора без трения
$f$	Гц	Собственная частота колебаний маятника с трением
$\omega$	рад·с−1	Круговая частота собственных колебаний с трением
$\alpha$	с−1	Величина обратная постоянной времени затухания колебаний
$\phi$	рад	Фаза колебаний
$L$	m	Расстояние от оси вращения до точки приложения силы

Крутильные весы, крутильные маятники и балансиры часов по сути являются крутильными гармоническими осцилляторами, которые могут испытывать гармонические вращательные колебания вокруг оси торсионного упругого элемента. Математически такие системы аналогичны пружинным осцилляторам — грузикам с пружиной, закреплённой с одного конца. Общее дифференциальное уравнение движения крутильного осциллятора:

$I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\sigma \frac{d\theta }{dt}+\kappa \theta =\tau (t).$

Если степень затухания (демпфирования) небольшое, что математически означает $\sigma \ll \sqrt{\frac{\kappa }{I}},$ частота колебаний крутильного осциллятора очень близка к собственной резонансной частоте системы $f_n:$

$f_n=\frac{{\omega }_n}{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\kappa }{I}}.$

Выражение для периода колебаний:

$T_n=\frac{1}{f_n}=\frac{2\pi }{{\omega }_n}=2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa }}.$

Общее решение в случае отсутствия внешней вынуждающей силы, то есть $\tau (t)=0$ называется решением для переходного процесса:

$\theta =A{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t+\phi ),$

где $\alpha =\sigma /2I;$ $\omega =\sqrt{{\omega }_n^2-{\alpha }^2}=\sqrt{\kappa /I-(\sigma /2I{)}^2}.$

См. также

• Эксперимент Кавендиша
• Крутильные весы
• Торсион