Сходимость по Пуассону — Абелю

Сходимость по Пуассону — Абелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное Пуассоном и Абелем.

Определение

Пусть $A$ обозначает числовой ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд $A$ называется сходящимся по Пуассону — Абелю, если существует предел:Шаблон:Sfn

$\underset{x\to 1-0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k{x}^k=s_p(A)$

Пример

Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}$. Этот ряд сходится по Пуассону — Абелю: $\underset{x\to 1-0}{\lim }(1-x+x^2-...)=\underset{x\to 1-0}{\lim }\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}$

Свойства

• Если $A$ — сходящийся ряд, то он сходится по Пуассону — Абелю и $s_p(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k$Шаблон:Sfn.
• Если ряды $A$ и $B$ сходятся по Пуассону — Абелю, то и их произведение $C$ сходится по Пуассону — Абелю и $s_p(A)s_p(B)=s_p(C)$Шаблон:Sfn.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Эйлеру

Литература

• Шаблон:Книга