Лемма Дена

Ле́мма Де́на — ключевое утверждение трёхмерной топологии.

Формулировка

Пусть $f$ — кусочно-линейное отображение диска в 3-мерное многообразие. Предположим, что образ границы вложен и не пересекает образ внутренности диска. Тогда существует кусочно-линейное вложение диска, совпадающее с исходным на граничной окружности.

История

Доказательство было опубликовано Деном. Существенные пробелы в его доказательстве обнаружил Шаблон:Нп1. Полное доказательство было получено Папакирьякопулосом.

Папакирьякопулос доказал лемму Дена с помощью построения башни накрытий. Вскоре после этого Шаблон:Нп1 и Уайтхед дали более простое доказательство и при этом обобщили результат. Их доказательство использует башни двойных накрытий.

Следствия

• Если группа узла равна $\mathbb{Z}$, то узел является тривиальным.

Вариации и обобщения

• Теорема о петле
• Теорема о сфере (трёхмерная топология)

Ссылки

• Bing, R.H. (1983), The Geometric Topology of 3-manifolds, American Mathematical Society, p. 183, ISBN 0-8218-1040-5
• Dehn, Max (1910), «Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes», Math. Ann. 69: 137—168, doi:10.1007/BF01455155
• Jaco, William; Rubinstein, Hyam (1989), «PL Equivariant Surgery and Invariant Decompositions of 3-Manifolds», Advances in Mathematics 73: 149—191, doi:10.1016/0001-8708(89)90067-4
• Kneser (1929), «Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten», Jber.Deutsch. Math. Verein. 38: 248—260
• Papakyriakopoulos, C. D. (1957), «On Dehn’s Lemma and the Asphericity of Knots», Proc. Nat. Acad. Sci. USA 43 (1): 169—172, doi:10.1073/pnas.43.1.169, MR 0082671, PMC 528404, PMID 16589993
  • Papakyriakopoulos, C. D. (1957b), «On Dehn’s Lemma and the Asphericity of Knots», Ann. Math. 66 (1): 1-26, doi:10.2307/1970113, JSTOR 1970113, MR 0090053
  • Шаблон:Статья
• Rubinstein, J.H. (2003), Dehn’s lemma and the loop theorem, Low-dimensional topology, new studies in advanced mathematics, Vol 3 International Press, pp. 61—68
• Stallings, J.R. (1971), Group theory and three-dimensional manifolds, Yale University Press, ISBN 0-300-01397-3
• Shapiro, Arnold; Whitehead, J.H.C. (1958), «A proof and extension of Dehn’s lemma», BAMS (AMS) 64: 174—178