Список интегралов элементарных функций

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от $e^{x^2}$ не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.

$C$ использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Правила интегрирования функций

$\int Cf(x)dx=C\int f(x)dx$

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int (\int g(x)dx)df(x)$

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

$\int 0dx=C$ (первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

$\int adx=ax+C$

$\int x^{n}dx=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,& n\ne -1\\ \ln \left|x\right|+C,& n=-1\end{array}$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathrm{arcctg}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$ («высокий логарифм»)

Логарифмы

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln |\ln x|+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C=x\frac{\ln x-1}{\ln b}+C$

Экспоненциальные функции

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Иррациональные функции

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arccos \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}\frac{|x|}{a}+C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$ («длинный логарифм»)

$\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a}+a\ln |x+\sqrt{x^2+a}|)+C$

Тригонометрические функции

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\mathrm{tg}x|+C$

$\int \mathrm{cosec}xdx=-\ln |\mathrm{cosec}x+\mathrm{ctg}x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x+C$

$\int {\mathrm{cosec}}^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{ctg}x+C$

$\int \sec x\mathrm{tg}xdx=\sec x+C$

$\int \mathrm{cosec}x\mathrm{ctg}xdx=-\mathrm{cosec}x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx,n\in \mathbb{N},n⩾2$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx,n\in \mathbb{N},n⩾2$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Гиперболические функции

$\int \mathrm{sh}xdx=\mathrm{ch}x+C$

$\int \mathrm{ch}xdx=\mathrm{sh}x+C$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=\mathrm{th}x+C$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{sh}}^{2}x}=-\mathrm{cth}x+C$

$\int \mathrm{th}xdx=\ln |\mathrm{ch}x|+C$

$\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\mathrm{th}\frac{x}{2}|+C$

$\int \mathrm{sech}xdx=\mathrm{arctg}\mathrm{sh}x+C$

также $\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(e^x)+C$

также $\int \mathrm{sech}xdx=2\mathrm{arctg}(\mathrm{th}\frac{x}{2})+C$

$\int \mathrm{cth}xdx=\ln |\mathrm{sh}x|+C$

Специальные функции

$\int \mathrm{Ci}(x)dx=x\mathrm{Ci}(x)-\sin x$

$\int \mathrm{Si}(x)dx=x\mathrm{Si}(x)+\cos x$

$\int \mathrm{Ei}(x)dx=x\mathrm{Ei}(x)-e^x$

$\int \mathrm{li}(x)dx=x\mathrm{li}(x)-\mathrm{Ei}(2\ln x)$

$\int \frac{\mathrm{li}(x)}{x}dx=\ln x\mathrm{li}(x)-x$

$\int \mathrm{erf}(x)dx=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x\mathrm{erf}(x)$

$\int w(x)dx=x(w(x)-1+\frac{1}{w(x)})$