Соотношение Фабер — Джексона

Зависимость дисперсии скоростей (ось y) от абсолютной звёздной величины (ось x) для некоторых эллиптических галактик, прямая линия показывает график соотношения Фабер — Джексона.

Соотношение Фабер — Джексона — эмпирическое степенное соотношение, связывающее светимостьШаблон:Nbsp$L$ и центральную дисперсию скоростейШаблон:Nbsp$\sigma$ эллиптических галактик, впервые полученное астрономами Сандрой Фабер и Робертом Джексоном в 1976 году. Данное соотношение можно представить в виде

$L\propto {\sigma }^{\gamma }$,

где показатель степени $\gamma$ приблизительно равенШаблон:Nbsp4, но зависит от диапазона светимостей, в который вписано соотношение. Данную зависимость можно рассматривать как проекцию фундаментальной плоскости эллиптических галактик.

Соотношение Фабер — Джексона можно применять для приблизительного определения расстояния до галактик.

Теория

Гравитационный потенциал массы $M$, распределённой в объёме радиуса $R$, имеет вид

$U=-\alpha \frac{G{M}^2}{R},$

где $\alpha$ — постоянная, зависящая от профиля плотности объекта, $G$ — гравитационная постоянная. В случае постоянной плотности $\alpha =\frac{3}{5}$.

Кинетическая энергия ($\sigma$ — одномерная дисперсия скоростей, $3{\sigma }^2=V^2$):

$K=\frac{1}{2}M{V}^2,$

$K=\frac{3}{2}M{\sigma }^2.$

Из теоремы вириала ($2K+U=0$) следует

${\sigma }^2=\frac{1}{5}\frac{GM}{R}.$

Если предположить, что отношение масса-светимость является постоянным, то есть $M\propto L$, то соотношение, связывающее $R$ и ${\sigma }^2$, будет иметь вид

$R\propto \frac{LG}{{\sigma }^2}.$

Введём понятие поверхностной яркости $B=L/(4\pi R^2)$ и предположим, что она постоянна:

$L=4\pi R^{2}B.$

Пользуясь данным предположением, получим

$L\propto 4\pi {\left(\frac{LG}{{\sigma }^2}\right)}^{2}B,$

$L\propto \frac{{\sigma }^4}{4\pi G^{2}B},$

что означает $L\propto {\sigma }^4.$

В реальности предположение постоянной поверхностной яркости не выполняется. Поверхностная яркость имеет максимальное значение при $M_V=-23$. Для менее массивных галактик $L\propto {\sigma }^{3.1}$, для более массивных галактик $L\propto {\sigma }^{15.0}.$ Таким образом, фундаментальная плоскость разделяется на две части, наклоненные относительно друг друга примерно на Шаблон:Num.

Определение расстояния до галактик

Как и зависимость Талли — Фишера в случае спиральных галактик, соотношение Фабер — Джексона предоставляет возможность определять расстояние до галактики, связывая его с более простыми для измерения характеристиками. Для эллиптических галактик измерение центральной дисперсии скоростей по доплеровскому сдвигу спектральных линий позволяет на основе соотношения Фабер — Джексона получить оценку светимости галактики. Сопоставление светимости и видимой звёздной величины позволяет найти модуль расстояния до галактики и, следовательно, само расстояние.

Ссылки

• Статья Faber & Jackson (1976)
• D. Gudehus: пересмотр соотношения Фабер — Джексона