Теорема Мура о факторпространстве

Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Доказана Робертом Муром в 1925 году.

Формулировки

Пусть $f:{𝕊}^2\to X$ — сюръективное непрерывное отображение двумерной сферы ${𝕊}^2$ на хаусдорфово пространство $X$. Предположим, что для любой точки $x\in X$ прообраз $f^{-1}\{x\}$, а также его дополнение ${𝕊}^2\mathrm{\setminus }{f}^{-1}\{x\}$ связны. Тогда $X$ гомеоморфно ${𝕊}^2$, более того отображение $f:{𝕊}^2\to X$ есть предел гомеоморфизмов $f_n:{𝕊}^2\to X$.

Замечания

Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке отношения эквивалентности на ${𝕊}^2$. Отображение $f:{𝕊}^2\to X$ задаёт отношение эквивалентности $\sim$ на ${𝕊}^2$, определяемое как

$x\sim y⟺f(x)=f(y).$

Классы эквивалентности $[x]=\{y\in {𝕊}^2\mid x\sim y\}$ образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. То есть, если $x_n\to x$, $y_n\to y$ и $x_n\sim y_n$ для любого $n$, тогда $x\sim y$.

• Если $\sim$ — отношение эквивалентности на ${𝕊}^2$ с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого $x$ множества $[x]$ и ${𝕊}^2\mathrm{\setminus }[x]$ связны, то фактор пространство ${𝕊}^2/\sim$ гомеоморфно ${𝕊}^2$.

Вариации и обобщения

В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция $f:M\to X$ из многообразия $M$ на хаусдорфово пространство $X$ должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки $x\in X$ и любого открытого множества $U$, содержащего прообраз $f^{-1}\{x\}$, можно найти замкнутое множество $B$, гомеоморфное шару, такое что $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга