Угол параллельности

Угол параллельности θ, прямые $𝓍$ и $𝓎$ асимптотически параллельны к прямой $\ell$.

У́гол паралле́льности в геометрии Лобачевского — угол между перпендикуляром к данной прямой и асимптотически параллельной прямой, проведённой из точки, не лежащей на данной прямой.

В евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой.

В геометрии Лобачевского, угол параллельности всегда острый. На плоскости Лобачевского с кривизной −1 угол параллельности для точки на расстоянии $a$ от прямой обычно обозначается $\mathrm{\Pi }(a)$.

Свойства и соотношения

• $\mathrm{\Pi }(a)$ является острым углом при катете, равном $a$, в прямоугольном гиперболическом треугольнике, который имеет две асимптотические параллельные стороны.
• $\underset{a\to 0}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\cdot \pi \text{ и }\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Pi }(a)=0.$

• $\sin \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{sech}a=\frac{1}{\mathrm{ch}a}=\frac{2}{e^a+e^{-a}},$

• $\cos \mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{th}a=\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}},$

• $\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\Pi }(a)=\mathrm{csch}a=\frac{1}{\mathrm{sh}a}=\frac{2}{e^a-e^{-a}}$

• $\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\Pi }(a))=e^{-a},$

• $\mathrm{\Pi }(a)=\frac{1}{2}\cdot \pi -\mathrm{gd}(a),$

где sh, ch, th, sech и csch — гиперболические функции, а gd — функция Гудермана.

История

Угол параллельности рассматривался Лобачевским. В частности, он вывел соотношение

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{1}{2}\cdot \mathrm{\Pi }(a))=e^a.$

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга