Гипотеза Нагаты о кривых

Гипотеза Нагаты о кривых, названная именем Масаёси Нагаты, определяет минимальную степень, которую должна иметь плоская алгебраическая кривая, чтобы она проходила через набор точек общего вида с предписанными Шаблон:Не переведено 5. Нагата пришёл к гипотезе во время работы над 14-й проблемой Гильберта, которая спрашивает, является ли кольцо инвариантов для действия линейной группы на кольцо многочленов Шаблон:Math над некоторым полем Шаблон:Mvar конечнопорождённым. Нагата опубликовал гипотезу в статье 1959 года в журнале American Journal of Mathematics, в которой он привёл контрпример к 14-й гипотезе Гильберта.

Гипотеза Нагаты. Предположим, что Шаблон:Math являются точками в общем положении на [[Проективная плоскость|Шаблон:Math]] и что Шаблон:Math — заданные положительные целые числа. Тогда для Шаблон:Math любая кривая Шаблон:Mvar в Шаблон:Math, которая проходит через каждую точку Шаблон:Math с кратностью Шаблон:Math должна удовлетворять неравенству

$\mathrm{deg}C>\frac{1}{\sqrt{r}}\sum _{i=1}^r{m}_i.$

Единственный случай, для которого известно, что это неравенство выполняется, это когда Шаблон:Mvar является полным квадратом, что доказал Нагата. Несмотря на большой интерес, остальные случаи остаются открытыми. Более современная формулировка гипотезы часто даётся в терминах Шаблон:Не переведено 5 и обобщена на другие поверхности (под названием Шаблон:Не переведено 5).

Условие Шаблон:Math, как легко видеть, является необходимым. В зависимости от того, Шаблон:Math или Шаблон:Math, антиканоническое расслоение на раздутии Шаблон:Math в Шаблон:Mvar точках будет неф-расслоением или нет.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья