Квадратичная иррациональность

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ с рациональными коэффициентами $a,b,c$ (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами $a{x}^2+bx+c$). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Иррациональность числа $x$ означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен $a{x}^2+bx+c=0$ неприводим в поле рациональных чисел $\mathbb{Q},$ то есть не распадается в этом поле на множители первой степени.

Алгебраические свойства

Решение квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ даёт формула:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$

где $D=b^2-4ac$ (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что $D⩾0.$ Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:

$x=u+v\sqrt{D},$

где $u,v,D$ — рациональные числа, причём $v\ne 0$, а подкоренное выражение $D$ неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа.

Примеры: $11-\sqrt{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для $x=u+v\sqrt{D}$ также является квадратичной иррациональностью:

$\frac{1}{u+v\sqrt{D}}=\frac{u-v\sqrt{D}}{u^2-v^{2}D}.$

Число $x^{\prime }=u-v\sqrt{D}$ называется сопряжённым для $x=u+v\sqrt{D}.$ Имеют место формулы:

$(x+y{)}^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime };(xy{)}^{\prime }=x^{\prime }{y}^{\prime };\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{\prime }}.$

Канонический формат

Без ограничения общности можно упростить уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ следующим образом.

1. Коэффициенты рассматриваемого уравнения 2-й степени можно сделать целыми числами, поскольку от знаменателей дробей легко избавиться, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Дискриминант $D$ тогда тоже становится целым числом.
2. Если старший коэффициент $a<0,$ то умножим уравнение на $-1$.
3. Наконец, разделим полученное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ на наибольший общий делитель НОД$(a,b,c)$.

В итоге получим уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителенШаблон:Sfn. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно.

Часто удобно в выражении корня $x=u+v\sqrt{D},$ выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение $D$ входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение $D$ будет свободно от квадратов.

Квадратичные поля

Шаблон:Main Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом $D$ либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел Шаблон:Math. Это поле обозначается $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение $\mathbb{Q}$ может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле).

Предположим, что, как описано выше, $D$ — свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений $D$ получаются разные квадратичные поля Шаблон:Sfn.

Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов $D$ не может делиться на 4, поэтому возможны два случая в зависимости от того, какой остаток даёт $D$ при делении на 4.

1. Если $D$ имеет вид $4k+1,$ то целые элементы — это числа вида $m+n\cdot \frac{1+\sqrt{D}}{2}$, где $m,n$ — натуральные числа.
2. Если $D$ имеет вид $4k+2$ или $4k+3,$ то целые элементы — это числа вида $m+n\sqrt{D}$, где $m,n$ — натуральные числа.

Связь с непрерывными дробями

Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа)Шаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Вещественное число является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь. |} Пример:

$\sqrt{3}=1.732\dots =[1;1,2,1,2,1,2,\dots ]$

Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности $x$ будет чисто периодической тогда и только тогда, когда $x>1$, а сопряжённая иррациональность $x^{\prime }$ лежит в интервале $(-1;0)$. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке.

Обобщение

Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности $n$-й степени», которая является корнем неприводимого в поле $\mathbb{Q}$ многочлена $n$-й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при $n=1,$ а квадратичные иррациональности соответствуют случаю $n=2.$

Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).

Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.

История

Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число $N$ не представляет собой полный квадрат, то $\sqrt{N}$ не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Continued fraction calculator for quadratic irrationals Шаблон:Wayback Шаблон:Ref-en
• Proof that e is not a quadratic irrational Шаблон:Ref-en