Нормальное расширение

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля $K\subset E$ для которого каждый неприводимый многочлен $f(x)$ над $K$, имеющий хотя бы один корень в $E$, разлагается в $E$ на линейные множители.

Равносильное определение: Если $K\subset E\subset K^{\ast }$, где $K^{\ast }$ — алгебраическое замыкание поля $K$, то $E$ нормально, если любой изоморфизм $\sigma$ поля $E$ в алгебраическое замыкание $K^{\ast }$ над $K$ является автоморфизмом поля $E$.

Нормальное расширение как поле разложения

Всякое расширение $K\subset E$ является нормальным тогда и только тогда, когда $E$ является полем разложения некоторого множества многочленов из $K[x]$.

Нормальные расширения в соответствии Галуа

Если $F$ — расширение Галуа поля $K$, а $E$ — какое-нибудь промежуточное подполе $K\subset E\subset F$, то группа Галуа $\mathrm{Gal}(F/E)$ по определению состоит из всех автоморфизмов $F$, оставляющих элементы $E$ неподвижными. Если $\sigma$ — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа $\mathrm{Gal}(F/K)$, отображающий $E$ на $\sigma (E)$ то, очевидно, что

$\mathrm{Gal}(F/\sigma E)=\sigma \mathrm{Gal}(F/E){\sigma }^{-1}$

Поэтому расширение $E$ нормально тогда и только тогда, когда подгруппа $\mathrm{Gal}(F/E)$ является нормальной подгруппой в $\mathrm{Gal}(F/K)$ (отсюда и терминология).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.