Граф Шрикханде

Шаблон:Граф Граф Шрикханде — граф, найденный С. С. Шрикханде (англ.) в 1959 году^[1]Шаблон:Sfn. Граф сильно регулярен, имеет 16 вершин и 48 рёбер и каждая вершина имеет степень 6. Каждая пара узлов имеет ровно два общих соседа, независимо от того, связана эта пара ребром или нет.

Построение

Граф Шрикханде можно построить как граф Кэли, в котором множество вершин — это $ℤ_{4} \times ℤ_{4}$ , а две вершины связаны тогда и только тогда, когда разность находится в ${\pm (1, 0), \pm (0, 1), \pm (1, 1)}$ .

Свойства

В графе Шрикханде любые две вершины I и J имеют двух различных общих соседей (исключая сами вершины I и J), что выполняется вне зависимости от того, смежны ли I и J, или нет. Другими словами, граф сильно регулярен и его параметрами являются: {16,6,2,2}, то есть $λ = μ = 2$ . Из этого равенства следует, что граф ассоциирован с симметричными сбалансированными неполными блок-схемами (Шаблон:Lang-en, BIBD). Граф Шрикханде разделяет эти параметры с точно одним другим графом, 4×4 ладейным графом, то есть рёберным графом L(K_4,4) полного двудольного графа K_4,4. Последний граф является единственным рёберным графом L(K_{n, n}), для которого параметры сильной регулярности не определяют этот граф единственным образом, и граф делит их с другим графом, а именно графом Шрикханде (который не является ладейным графом)Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Граф Шрикханде локально шестиуголен. То есть соседи каждой вершины образуют цикл из шести вершин. Как и любой локально цикличный граф, граф Шрикханде является Шаблон:Не переведено 5 триангуляции Уитни некоторой поверхности. В случае графа Шрикханде эта поверхность является тором, в котором каждая вершина окружена шестью треугольниками^[2] Таким образом, граф Шрикханде — это тороидальный граф. Вложение образует регулярное отображение в тор с 32 треугольными гранями. Остов дуального графа этого отображения (как вложенного в тор) — граф Дика, кубический симметричный граф.

Граф Шрикханде не является дистанционно-транзитивным. Это самый маленький дистанционно-регулярный граф, не являющийся дистанционно-транзитивнымШаблон:Sfn.

Группа автоморфизмов графа Шрикханде имеет порядок 192. Она действует транзитивно на вершины, на рёбра и дуги графа. Поэтому граф Шрикханде является симметричным графом.

Характеристический многочлен графа Шрикханде равен $(x - 6) (x - 2)^{6} (x + 2)^{9}$ . Таким образом, граф Шрикханде является целым графом — его спектр состоит всецело из целых чисел.