Метод Гаусса (определение орбиты)

Шаблон:Дзт Ме́тод Га́усса в небесной механике и астродинамике используется для первоначального определения параметров орбиты небесного тела по трём наблюдениям.

На практике для увеличения точности используется больше наблюдений, но в теории достаточно трёх. Кроме небесных координат объекта, необходимыми сведениями являются моменты наблюдений и земные координаты пунктов наблюдения.

История

В 1801 году была открыта Церера, но в течение некоторого времени её наблюдения были затруднены из-за близости к Солнцу, после чего было трудно снова найти её на небе. Карл Фридрих Гаусс поставил себе задачу определения её орбиты по имевшимся наблюдениям, за счёт чего и приобрёл мировую известность. Однако описанный ниже метод годится только для определения орбит с фокусом в теле, с которого ведутся наблюдения, так что задача Гаусса была сложнее.

Вектор положения наблюдателя

Геоцентрическая (θ) и геодезическая (ϕ) широта

Вектор положения наблюдателя (в экваториальной системе координат) можно вычислить, зная широту места наблюдения и местное звёздное время:

${𝐑}_{𝐧}=[\frac{R_e}{\sqrt{1-(2f-f^2){\sin }^2{\varphi }_n}}+H_n]\cos {\varphi }_n(\cos {\theta }_n\widehat{𝐈}+\sin {\theta }_n\widehat{𝐉})+[\frac{R_e(1-f{)}^2}{\sqrt{1-(2f-f^2){\sin }^2{\varphi }_n}}+H_n]\sin {\varphi }_n\widehat{𝐊}$

или:

${𝐑}_{𝐧}=R_e\cos \varphi {\text{'}}_n\cos {\theta }_n\widehat{𝐈}+R_e\cos \varphi {\text{'}}_n\sin {\theta }_n\widehat{𝐉}+R_e\sin \varphi {\text{'}}_n\widehat{𝐊},$

где:

• ${𝐑}_{𝐧}$ — вектор положения наблюдателя;
• $R_e$ — экваториальный радиус тела, на котором находится наблюдатель;
• $f$ — сплюснутость тела у полюсов (например, для Земли — 0.003353);
• ${\varphi }_n$ — геодезическая широта;
• $\varphi {\text{'}}_n$ — геоцентрическая широта;
• $H_n$ — высота;
• ${\theta }_n$ — местное звёздное время.

Вектор направления на объект

Вектор направления на объект может быть вычислен с помощью склонения и прямого восхождения:

${\hat{\mathit{\rho }}}_{𝐧}=\cos {\delta }_n\cos {\alpha }_n\widehat{𝐈}+\cos {\delta }_n\sin {\alpha }_n\widehat{𝐉}+\sin {\delta }_n\widehat{𝐊}$,

где:

• ${\hat{\mathit{\rho }}}_{𝐧}$ — единичный вектор направления на объект;
• ${\delta }_n$ — склонение;
• ${\alpha }_n$ — прямое восхождение.

Определение орбиты

Далее нужно получить вектор расстояния до объекта, а не только единичный вектор направления на него.

Шаг 1

Вычисляются интервалы между наблюдениями:

${\tau }_1=t_1-t_2$

${\tau }_3=t_3-t_2$

$\tau =t_3-t_1,$

где $t_n$ — моменты наблюдений.

Шаг 2

Вычисляются векторные произведения:

${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}={\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟐}}\times {\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟑}}$

${𝐩}_{\mathrm{𝟐}}={\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟏}}\times {\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟑}}$

${𝐩}_{\mathrm{𝟑}}={\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟏}}\times {\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟐}}$

Шаг 3

Вычисляются смешанные произведения:

$D_0={\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟏}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟏}}={\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟏}}\cdot ({\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟐}}\times {\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟑}})$

$D_{11}={𝐑}_{\mathrm{𝟏}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟏}}{D}_{12}={𝐑}_{\mathrm{𝟏}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟐}}{D}_{13}={𝐑}_{\mathrm{𝟏}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟑}}$

$D_{21}={𝐑}_{\mathrm{𝟐}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟏}}{D}_{22}={𝐑}_{\mathrm{𝟐}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟐}}{D}_{23}={𝐑}_{\mathrm{𝟐}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟑}}$

$D_{31}={𝐑}_{\mathrm{𝟑}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟏}}{D}_{32}={𝐑}_{\mathrm{𝟑}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟐}}{D}_{33}={𝐑}_{\mathrm{𝟑}}\cdot {𝐩}_{\mathrm{𝟑}}$

Шаг 4

Вычисляются позиционные коэффициенты:

$A=\frac{1}{D_0}(-D_{12}\frac{{\tau }_3}{\tau }+D_{22}+D_{32}\frac{{\tau }_1}{\tau })$

$B=\frac{1}{6D_0}[D_{12}({\tau }_3^2-{\tau }^2)\frac{{\tau }_3}{\tau }+D_{32}({\tau }^2-{\tau }_1^2)\frac{{\tau }_1}{\tau }]$

$E={𝐑}_{\mathrm{𝟐}}\cdot {\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟐}}$

Шаг 5

Вычисляется модуль вектора положения наблюдателя в момент второго наблюдения:

${R_2}^2={𝐑}_{\mathrm{𝟐}}\cdot {𝐑}_{\mathrm{𝟐}}$

Шаг 6

Вычисляются коэффициенты полинома для поиска расстояния:

$a=-(A^2+2AE+{R_2}^2)$

$b=-2\mu B(A+E)$

$c=-{\mu }^2{B}^2,$

где $\mu$ — гравитационный параметр тела, вокруг которого происходит вращение.

Шаг 7

Ищутся решения уравнения:

${r_2}^8+a{r_2}^6+b{r_2}^3+c=0,$

где $r_2$ — расстояние до объекта в момент второго наблюдения.

У кубического уравнения может быть до трёх действительных корней. В случае, если их больше одного, необходимо проверить каждый из них.

Шаг 8

Вычисляются расстояния от точек наблюдения до объекта в каждый из моментов наблюдений:

${\rho }_1=\frac{1}{D_0}[\frac{6(D_{31}\frac{{\tau }_1}{{\tau }_3}+D_{21}\frac{\tau }{{\tau }_3}){r_2}^3+\mu D_{31}({\tau }^2-{{\tau }_1}^2)\frac{{\tau }_1}{{\tau }_3}}{6{r_2}^3+\mu ({\tau }^2-{{\tau }_3}^2)}-D_{11}]$

${\rho }_2=A+\frac{\mu B}{{r_2}^3}$

${\rho }_3=\frac{1}{D_0}[\frac{6(D_{13}\frac{{\tau }_3}{{\tau }_1}-D_{23}\frac{\tau }{{\tau }_1}){r_2}^3+\mu D_{13}({\tau }^2-{{\tau }_3}^2)\frac{{\tau }_3}{{\tau }_1}}{6{r_2}^3+\mu ({\tau }^2-{{\tau }_1}^2)}-D_{33}]$

Шаг 9

Вычисляются позиционные вектора объекта (в экваториальной системе координат):

${𝐫}_{\mathrm{𝟏}}={𝐑}_{\mathrm{𝟏}}+{\rho }_1{\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟏}}$

${𝐫}_{\mathrm{𝟐}}={𝐑}_{\mathrm{𝟐}}+{\rho }_2{\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟐}}$

${𝐫}_{\mathrm{𝟑}}={𝐑}_{\mathrm{𝟑}}+{\rho }_3{\hat{\mathit{\rho }}}_{\mathrm{𝟑}}$

Шаг 10

Вычисляются коэффициенты Лагранжа. Из-за этого пункта определение орбит становится неточным:

$f_1\approx 1-\frac{1}{2}\frac{\mu }{{r_2}^3}{{\tau }_1}^2$

$f_3\approx 1-\frac{1}{2}\frac{\mu }{{r_2}^3}{{\tau }_3}^2$

$g_1\approx {\tau }_1-\frac{1}{6}\frac{\mu }{{r_2}^3}{{\tau }_1}^3$

$g_3\approx {\tau }_3-\frac{1}{6}\frac{\mu }{{r_2}^3}{{\tau }_3}^3$

Шаг 11

Вычисляется вектор скорости объекта в момент второго наблюдения (в экваториальной системе координат):

${𝐯}_{\mathrm{𝟐}}=\frac{1}{f_1{g}_3-f_3{g}_1}(-f_3{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}+f_1{𝐫}_{\mathrm{𝟑}})$

Шаг 12

Теперь известно положение и скорость объекта в один момент времени. Значит, возможно определить параметры орбиты.

Литература

• Der, Gim J.. «New Angles-only Algorithms for Initial Orbit Determination.» Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). PrintШаблон:Ref-en