Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось ($a$),
• эксцентриситет ($e$),
• наклонение ($i$),
• долгота восходящего узла ($\mathrm{\Omega }$),
• аргумент перицентра ($\omega$),
• средняя аномалия ($M_o$).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось $a$ положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса.

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: $a=-\frac{GMm}{2E}$. Связана с положением и скоростью тела соотношением $\frac{1}{a}=\frac{2}{r_0}-\frac{v_0^2}{\mu }$, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела.

Эксцентриситет

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «$e$» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

$\epsilon =\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$, где $b$ — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины $\epsilon$ орбита представляет собой:

• $\epsilon =0$ — окружность
• $0<\epsilon <1$ — эллипс
• $\epsilon =1$ — параболу
• $1<\epsilon <\mathrm{\infty }$ — гиперболу, $b$ — мнимое число
• $\epsilon =\mathrm{\infty }$ — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

$A$ – объект
$B$ – центральный объект
$C$ – плоскость отсчёта
$D$ – плоскость орбиты
 $i$  – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от Шаблон:Lang-en). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если $0^{\circ }<i<90^{\circ }$, то движение небесного тела называется прямым.

Если $90^{\circ }<i<180^{\circ }$, то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Шаблон:Falseredirect Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

$𝐧=𝐤\times 𝐡=(-h_y,h_x,0)$

$\mathrm{\Omega }=\arccos \frac{n_x}{\left|n\right|}(n_y\ge 0);$

$\mathrm{\Omega }=2\pi -\arccos \frac{n_x}{\left|n\right|}(n_y<0).$

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Шаблон:Falseredirect Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ($\omega$).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как $\overline{\omega }$. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным.

Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой $M$ (от Шаблон:Lang-en)

В звёздной динамике средняя аномалия $M$ вычисляется по следующим формулам:

$M=M_0+n(t-t_0)$

где:

• $M_0$ — средняя аномалия на эпоху $t_0$,
• $t_0$ — начальная эпоха,
• $t$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• $n$ — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

$M=E-e\cdot \sin E$

где:

• $E$ — эксцентрическая аномалия ($E$ на рис.3),
• $e$ — эксцентриситет.

Ссылки

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web