Уравнение Кеплера

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

$E-e\sin E=M$

где $E$ — эксцентрическая аномалия, $e$ — эксцентриситет орбиты, а $M$ — средняя аномалия.

Впервые это уравнение вывел Хабаш аль-Хасиб в IX веке. Но в Европе оно получило распространение благодаря Иоганну Кеплеру, который вывел в его в «Новой астрономии» в 1609 году. Уравнение играет значительную роль в небесной механике.

Варианты уравнения Кеплера

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при $0\le e<1$. Движение по гиперболическим орбитам $(e>1)$ подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии $(e=-1)$ описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите $(e=1)$ используют уравнение Баркера. При $e<0$ орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению Кеплера

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

$r^2\frac{d\vartheta }{dt}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=\sqrt{\mu a(1-e^2)}$.

Здесь $r$ — расстояние от тела до гравитирующего центра, $\vartheta$ — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, $\mu =G{M}_0$ — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, $a$ — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

$t-t_0=\frac{1}{\sqrt{\mu a(1-e^2)}}\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}{r}^{2}d\vartheta$.

Здесь $t_0$ — время прохождения через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбита

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \vartheta }$

Тогда уравнение для времени приобретает вид

$t-t_0=\frac{{\left(a(1-e^2)\right)}^{3/2}}{\sqrt{\mu }}\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}\frac{d\vartheta }{(1+e\cos \vartheta {)}^2}$

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

$\mathrm{tg}\frac{\vartheta }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\cdot \mathrm{tg}\frac{E}{2}$

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

$t-t_0=\sqrt{\frac{a^3}{\mu }}(E-e\sin E)$

Величина $\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}$ является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

$E-e\sin E=M$

Гиперболическая орбита

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: $x=-a\mathrm{c}\mathrm{h}H$, $y=a\sqrt{e^2-1}\mathrm{s}\mathrm{h}H$. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

$r=a(e\mathrm{c}\mathrm{h}H-1)$,

а связь между $\vartheta$ и $H$

$\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}=\sqrt{\frac{e+1}{e-1}}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{H}{2}$.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

$M=e\mathrm{s}\mathrm{h}H-H$

Величина $H$ называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку $\mathrm{s}\mathrm{h}H=-i\sin iH$, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

$M=-ei\sin iH-H=i(iH-e\sin iH)=i(E-e\sin E)$.

Отсюда видно, что $E=iH$.

Параболическая орбита

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

$r=\frac{2r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }$

где $r_{\pi }$ — расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

$r^2\frac{d\vartheta }{dt}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=\sqrt{2\mu r_{\pi }}$

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

$t-t_0=2r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}\underset{0}{\overset{\vartheta }{\int }}\frac{d\vartheta }{(1+\cos \vartheta {)}^2}$

Вводим универсальную тригонометрическую замену

$z=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2},\vartheta =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}z,d\vartheta =\frac{2dz}{1+z^2},\cos \vartheta =\frac{1-z^2}{1+z^2}$

и преобразуем интеграл

$t-t_0=4r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}\underset{0}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}}{\int }}\frac{\frac{dz}{1+z^2}}{{(1+\frac{1-z^2}{1+z^2})}^2}=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}\underset{0}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}}{\int }}(1+z^2)dz=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}{(z+\frac{z^3}{3})|}_0^{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}}$

получаем окончательно

$t-t_0=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}(\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}+\frac{1}{3}\mathrm{t}{\mathrm{g}}^{\mathrm{3}}\frac{\vartheta }{2})$

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальная орбита

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствуетШаблон:Sfn, значит

$v=\frac{dr}{dt}$

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений

$\frac{m{v}^2}{2}-\frac{m\mu }{r}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

$v^2=\frac{2\mu }{r}+h$

— интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

$\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2\mu }{r}+h}$

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу

$\mp (t_1-t_0)=\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2\mu }{r}+h}}$

способ вычисления которого определяется знаком константы $h$. Выделяют три случая

• $h<0$ прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену

$\frac{2\mu }{r}=\frac{-h}{{\sin }^{2}u},u_0=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt{\frac{-h{r}_0}{2\mu }},u_1=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt{\frac{-h{r}_1}{2\mu }},dr=\frac{4\mu }{-h}\sin u\cos udu$

вычисляем интеграл

$\mp (t_1-t_0)=\frac{4\mu }{-h\sqrt{-h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}{\sin }^{2}udu=\frac{2\mu }{-h\sqrt{-h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}(1-\cos 2u)du=\frac{\mu }{-h\sqrt{-h}}{(2u-\sin 2u)|}_{u_0}^{u_1}$

Полагая $E=2u$, запишем результат

$\mp (t_1-t_0)=\frac{\mu }{-h\sqrt{-h}}(E_1-E_0-\sin E_1+\sin E_0)$

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра $r_0=0$, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения

$t_1-t_0=\frac{\mu }{-h\sqrt{-h}}(E-\sin E)$

где $E=2\arcsin \sqrt{\frac{-hr}{2\mu }}$.

• $h=0$ прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле

$\mp (t_1-t_0)=\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{\frac{2\mu }{r}}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{\mu }}(r_1\sqrt{r_1}-r_0\sqrt{r_0})$

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения

$r(t)={\left[3\sqrt{\frac{\mu }{2}}(t_1-t_0)\right]}^{\frac{2}{3}}$

• $h>0$ прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, $v_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{h}$. Вводим замену

$\frac{2\mu }{r}=\frac{h}{{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}u},u_0=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt{\frac{h{r}_0}{2\mu }},u_1=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt{\frac{h{r}_1}{2\mu }},dr=\frac{4\mu }{h}\mathrm{s}\mathrm{h}u\mathrm{c}\mathrm{h}udu$

и вычисляем интеграл

$\mp (t_1-t_0)=\frac{4\mu }{h\sqrt{h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}{\mathrm{s}\mathrm{h}}^{2}udu=\frac{2\mu }{h\sqrt{h}}\underset{u_0}{\overset{u_1}{\int }}(\mathrm{c}\mathrm{h}2u-1)du=\frac{\mu }{h\sqrt{h}}{(\mathrm{s}\mathrm{h}2u-2u)|}_{u_0}^{u_1}$

Полагая $H=2u$, получаем

$\mp (t_1-t_0)=\frac{\mu }{h\sqrt{h}}(\mathrm{s}\mathrm{h}{H}_1-\mathrm{s}\mathrm{h}{H}_0-H_1+H_0)$

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера

$t_1-t_0=\frac{\mu }{h\sqrt{h}}(\mathrm{s}\mathrm{h}H-H)$

где $H=2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt{\frac{hr}{2\mu }}$

Решение уравнения Кеплера

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M. Для круговой орбиты ($e=0$) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид $M=E$. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

$E=M+2\cdot \sum _{n=1}^n\frac{1}{n}{J}_n\left(ne\right)\cdot \sin nM$,

где

$J_m\left(x\right)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (mE-x\sin E)dE$

— функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина $e$ не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методы

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E₀ можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид:

$E_{n+1}=e\sin E_n+M$

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом):

$H_{n+1}=\mathrm{Arsh}\frac{H_n+M}{e}$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга