Истинная аномалия

Истинная аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по Кеплеровой орбите. Это угол между направлениями на перицентр и текущее положение тела, измеряемый из фокуса эллипса (точки, вокруг которой движется тело).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar или латинской буквой Шаблон:Mvar и обычно ограничивается до диапазона 0–360° (0–2π радиан).

Истинная аномалия точки P — угол f. Центр эллипса — точка C, фокус — точка F.

Истинная аномалия Шаблон:Mvar — один из трёх угловых параметров (аномалий), определяющих положение тела на орбите. Другие два — эксцентрическая аномалия и средняя аномалия.

Формулы

Через векторы состояния

Для эллиптических орбит истинная аномалия Шаблон:Mvar может быть вычислена через орбитальные векторы состояния как:

$\nu =\arccos \frac{𝐞\cdot 𝐫}{\left|e\right|\left|r\right|}$

(если Шаблон:Nowrap, следует заменить Шаблон:Mvar на Шаблон:Nowrap)

где:

• v — вектор орбитальной скорости тела,
• e — вектор эксцентриситета,
• r — радиус-вектор тела (отрезок FP на рисунке).

Круговая орбита

Для круговых орбит истиная аномалия не определена, потому что у круговой орбиты нет однозначно определённого перицентра. Вместо этого используют аргумент широты u:

$u=\arccos \frac{𝐧\cdot 𝐫}{\left|n\right|\left|r\right|}$

(если Шаблон:Nowrap, следует заменить Шаблон:Nowrap)

где:

• n — вектор, направленный на восходящий узел (т. е. его z-компонента n равна нулю).
• r_z — z-компонента радиус-вектора r

Круговая орбита с нулевым наклонением

Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определён, поскольку нет однозначно определённой линии узлов. Вместо этого используют истинную долготу:

$l=\arccos \frac{r_x}{\left|r\right|}$

(если Шаблон:Nowrap, следует заменить Шаблон:Mvar на Шаблон:Nowrap)

где:

• r_x — x-компонента радиус-вектора r
• v_x — x-компонента вектора скорости v.

Через эксцентрическую аномалию

Связь между истинной аномалией Шаблон:Mvar и эксцентрической аномалией $E$:

$\cos \nu =\frac{\cos E-e}{1-e\cos E}$

или, используя синус и тангенс:

$\begin{array}{cc}\sin \nu & =\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1-e\cos E}\\ \tan \nu =\frac{\sin \nu }{\cos \nu }& =\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{\cos E-e}\end{array}$

что эквивалентно:

$\tan \frac{\nu }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2}$,

то есть

$\nu =2\arctan (\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2})$.

В качестве альтернативы была получена форма этого уравнения, позволяющая избежать проблем при аргументах, близких к $\pm \pi$, когда оба тангенса стремятся к бесконечности. К тому же, поскольку $\frac{E}{2}$ и $\frac{\nu }{2}$ всегда лежат в одном квадранте, не будет никаких проблем со знаками.

$\tan \frac{1}{2}(\nu -E)=\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E}$, ге $\beta =\frac{e}{1+\sqrt{1-e^2}}$,

следовательно,

$\nu =E+2\arctan \left(\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E}\right)$.

Через среднюю аномалию

Истинная аномалия может быть вычислена напрямую из средней аномалии $M$ с помощью ряда Фурье:

$\nu =M+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_n(-ke){\beta }^{|k+n|}]\sin kM$

с функцией Бесселя $J_n$ и параметром $\beta =\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}$.

Опуская все члены порядка $e^4$ и выше (на это указывает $𝒪\left(e^4\right)$), это можно записать как

$\nu =M+(2e-\frac{1}{4}{e}^3)\sin M+\frac{5}{4}{e}^2\sin 2M+\frac{13}{12}{e}^3\sin 3M+𝒪\left(e^4\right).$

Из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где эксцентриситет $e$ мал.

Выражение $\nu -M$ называется уравнением центра.

Расстояние через истинную аномалию

Расстояние между фокусом и телом связано с истинной аномалией формулой

$r=a\frac{1-e^2}{1+e\cos \nu }$,

где a — большая полуось орбиты.

См. также

• Законы Кеплера
• Эксцентрическая аномалия
• Средняя аномалия
• Эллипс
• Гипербола

Литература

• Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge. Шаблон:ISBN
• Plummer, H. C., 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. Шаблон:OCLC (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)

Ссылки

• Federal Aviation Administration - Describing Orbits