Круговая орбита

Круговая орбита представлена в верхнем левом углу диаграммы. Гравитационный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию; красным цветом показана кинетическая энергия. Высота области кинетической энергии остаётся постоянной при движении по окружности с постоянной скоростью.

Круговая орбита — орбита, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, создаваемая обращающимся вокруг неподвижной оси телом. Может рассматриваться как частный случай эллиптической орбиты при нулевом эксцентриситете. В Солнечной системе почти круговые орбиты у Венеры (эксцентриситет 0,0068) и Земли (эксцентриситет 0,0167).

Далее будет рассматриваться понятие круговой орбиты в астродинамике и небесной механике. Центростремительной силой является гравитационная сила. Указанная выше неподвижная ось проходит через притягивающий центр перпендикулярно плоскости орбиты.

Для данной орбиты не только расстояние от центра, но и линейная скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергии являются постоянными. Перицентра и апоцентра нет. У круговой орбиты нет аналога среди радиальных траекторий.

Ускорение на круговой орбите

Нормальное ускорение (перпендикулярное скорости) изменяет направление вектора скорости. Если оно постоянно по величине и меняется вместе с направлением скорости, то мы имеем круговое движение. Выполняется следующее равенство:

$a=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r,$

где

• $v$ — орбитальная скорость обращающегося тела,
• $r$ — радиус круговой орбиты,
• $\omega$ — угловая скорость, измеряемая в радианах в единицу времени.

Если единицей измерения $𝐚$ выбрать метры, делённые на секунду в квадрате, то единицей измерения $v$ будут метры в секунду, $r$ — метры, $\omega$ — радианы в секунду

Скорость

Относительная скорость является постоянной:

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{\mu }{r}},$

где

• G — гравитационная постоянная,
• M — сумма масс обоих тел (M₁+M₂), хотя на практике, если масса одного из компонентов значительно превышает массу второго, то массой второго тела пренебрегают, что несильно сказывается на результате,
• $\mu =GM$ — гравитационный параметр.

Уравнение движения

Уравнение орбиты в полярных координатах, показывающее в общем случае связь r и θ, упрощается до вида

$r=\frac{h^2}{\mu },$

где

• $h=rv$ — угловой момент обращающегося тела, приходящийся на единицу массы.

$\mu =r{v}^2$.

Угловая скорость и орбитальный период

${\omega }^2{r}^3=\mu ,$

следовательно орбитальный период ($T$) можно вычислить как

$T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{\mu }}.$

Сравним две пропорциональные величины, время свободного падения (время падения на точечную массу из положения в состоянии покоя)

$T_{ff}=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{r^3}{\mu }}$ (17.7 % периода обращения по круговой орбите)

и время падения на точечную массу по радиальной параболической траектории

$T_{par}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\frac{r^3}{\mu }}$ (7.5 % периода обращения по круговой орбите).

Тот факт, что формулы отличаются только константой, можно вывести из анализа размерностей.

Энергия

Орбитальная энергия ($ϵ$), рассчитанная на единицу массы, отрицательна,

$\frac{v^2}{2}=-ϵ,$

$-\frac{\mu }{r}=2ϵ.$

Следовательно, теорему о вириале можно применить даже без усреднения по времени:

• кинетическая энергия системы равна по модулю полной энергии,
• потенциальная энергия равна удвоенному значению полной энергии.

Скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на √2: в таком случае сумма кинетической и потенциальной энергии обратится в ноль.

Орбитальная скорость в общей теории относительности

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты радиуса $r$ определяется следующим выражением:

$v=\sqrt{\frac{GM}{r-r_S}},$

где $r_S=\frac{2GM}{c^2}$ — радиус Шварцшильда центрального тела.

Вывод уравнения

Для удобства будем использовать единицы измерения, в которых $c=G=1$.

4-вектор скорости для тела на круговой орбите задаётся выражением

$u^{\mu }=(\dot{t},0,0,\dot{\varphi })$

($r$ постоянно на круговой орбите, координаты можно выбрать таким образом, что $\theta =\frac{\pi }{2}$). Точка над символом переменной обозначает производную по собственному времени $\tau$.

Для массивной частицы компоненты 4-вектора удовлетворяют уравнению

$(1-\frac{2M}{r}){\dot{t}}^2-r^2{\dot{\varphi }}^2=1.$

Используем уравнение геодезической линии:

${\ddot{x}}^{\mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }{\dot{x}}^{\sigma }=0.$

Единственное нетривиальное уравнение при $\mu =r$:

$\frac{M}{r^2}(1-\frac{2M}{r}){\dot{t}}^2-r(1-\frac{2M}{r}){\dot{\varphi }}^2=0.$

Отсюда получаем

${\dot{\varphi }}^2=\frac{M}{r^3}{\dot{t}}^2.$

Подставляем данное выражение в уравнение для массивной частицы:

$(1-\frac{2M}{r}){\dot{t}}^2-\frac{M}{r}{\dot{t}}^2=1.$

Следовательно

${\dot{t}}^2=\frac{r}{r-3M}.$

Предположим, что наблюдатель находится на радиуса $r$ и не движется относительно центрального тела, то есть его 4-вектор скорости пропорционален вектору ${\partial }_t$.

$v^{\mu }=(\sqrt{\frac{r}{r-2M}},0,0,0)$

Произведение 4-векторов скорости наблюдателя и обращающегося тела приводит к выражению

$\gamma =g_{\mu \nu }{u}^{\mu }{v}^{\nu }=(1-\frac{2M}{r})\sqrt{\frac{r}{r-3M}}\sqrt{\frac{r}{r-2M}}=\sqrt{\frac{r-2M}{r-3M}}.$

Отсюда получаем выражение для скорости:

$v=\sqrt{\frac{M}{r-2M}}$

или, в единицах СИ,

$v=\sqrt{\frac{GM}{r-r_S}}.$

Ссылки

• Шаблон:Cite book