Эксцентрическая аномалия

Эксцентрическая аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по эллиптической орбите. Эксцентрическая аномалия является одним из трёх угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите. Другие два — истинная аномалия и средняя аномалия.

Графическое представление

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

где

$a$ и $b$ — большая и малая полуоси.

Угол $E$ — эксцентрическая аномалия точки $P$. Точка $O$ — центр эллипса, Точка $F$ — фокус.

Для точки эллипса $P=P(x,y)$, отражающей положение тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия есть угол $E$ на рисунке. Эксцентрическая аномалия $E$ — один из углов прямоугольного треугольника с вершиной в центре эллипса, один катет которого лежит на большой оси, гипотенуза равна $a$ (большой полуоси эллипса), а второй катет (перпендикулярный большой оси и имеющий конец в точке $P^{\prime }$ на вспомогательной окружности радиуса $a$) проходит через точку $P$. Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, обозначенная на рисунке как $\theta$. Эксцентричекая аномалия $E$ в терминах этих коорцинат выражается как

$\cos E=\frac{x}{a}$,

$\sin E=\frac{y}{b}$.

Второе уравнение устанавливается с использованием соотношения

${\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1-{\cos }^{2}E={\sin }^{2}E$,

которое подразумевает, что $\sin E=\pm \frac{y}{b}$. Уравнение $\sin E=-\frac{y}{b}$ можно сразу исключить, поскольку оно означает движение в обратном направлении. Второе уравнение можно рассматривать как получающееся из подобного треугольника, катет которого имеет длину $y$, равную расстоянию от $P$ до большой оси, а гипотенуза $b$ равна малой полуоси эллипса.

Формулы

Расстояние и эксцентрическая аномалия

Эксцентриситет $e$ определяется как

$e=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$.

Из теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой $FP$, равной $r$:

$\begin{array}{cc}{r}^2& =b^2{\sin }^{2}E+(ae-a\cos E{)}^2\\ & =a^2(1-e^2)(1-{\cos }^{2}E)+a^2(e^2-2e\cos E+{\cos }^{2}E)\\ & =a^2-2a^{2}e\cos E+a^2{e}^2{\cos }^{2}E\\ & =a^2{(1-e\cos E)}^2\\ \end{array}$

Таким образом, расстояние связывается с эксцентрической аномалией формулой

$r=a(1-e\cos E)$.

Используя этот результат, можно определить эксцентрическую аномалию через истинную аномалию.

Через истинную аномалию

Истинная аномалия — угол, обозначенный на рисунке $\theta$. Иногда её также обозначают как $f$ или $\nu$. Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.

Используя формулу для $r$ выше, можно выразить синус и косинус $E$ через $f$:

$\begin{array}{cc}\cos E& =\frac{x}{a}=\frac{ae+r\cos f}{a}=e+(1-e\cos E)\cos f\\ \Rightarrow \cos E& =\frac{e+\cos f}{1+e\cos f}\\ \sin E& =\sqrt{1-{\cos }^{2}E}=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin f}{1+e\cos f}.\end{array}$

Следовательно,

$\tan E=\frac{\sin E}{\cos E}=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin f}{e+\cos f}.$

Угол $E$ — угол прямоугольного треугольника с гипотенузой $1+e\cos f$ и катетами $e+\cos f$ и $\sqrt{1-e^2}\sin f$.

Также,

$\tan \frac{f}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2}$

Подставляя $\cos E$, найденный выше, в выражение для $r$, расстояние от фокуса до точки $P$ можно найти через истинную аномалию:

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos f}=\frac{p}{1+e\cos f}$,

где

$p\equiv a(1-e^2)$

называется фокальным параметром.

Через среднюю аномалию

Эксцентрическая аномалия $E$ связана со средней аномалией $M$ через уравнение Кеплера:

$M=E-e\sin E$

Это уравнение не имеет аналитического решения для $E$ при данном $M$. Оно обычно решается численными методами, например, методом Ньютона-Рафсона. Оно может быть выражено в виде ряда Фурье как

$E=M+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{J_n(ne)}{n}\sin (nM)$

где $J_n(x)$ — функция Бесселя первого рода.

Литература

• Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB
• Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)