Предел Лапласа

Преде́л Лапла́са — максимальное значение эксцентриситета, при котором решение уравнения Кеплера, выраженное в виде ряда по эксцентриситету, сходится. Названо в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа. Приблизительное значение предела Лапласа:

0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.

Пояснение

Уравнение Кеплера $M=E-\epsilon \sin E$ связывает между собой среднюю аномалию Шаблон:Math с эксцентрической аномалией Шаблон:Math для тела, движущегося по эллипсу с эксцентриситетом Шаблон:Math. Это уравнение не может быть решено для E через элементарные функции, но теорема Лагранжа об обращении рядов даёт решение в виде степенного ряда от Шаблон:Math:

$E=M+\sin (M)\epsilon +\frac{1}{2}\sin (2M){\epsilon }^2+(\frac{3}{8}\sin (3M)-\frac{1}{8}\sin (M)){\epsilon }^3+\cdots$

Радиус сходимости этого степенного ряда (такое число, что при меньших значениях ряд сходится, а при больших — расходится) при значениях константы Шаблон:Math, не являющихся целочисленными кратными Шаблон:Math, не зависит от выбора Шаблон:Math и называется числом (пределом) Лапласа.

Предел Лапласа является решением уравнения

$\frac{x\exp (\sqrt{1+x^2})}{1+\sqrt{1+x^2}}=1.$

См. также

• Эксцентриситет орбиты

Примечания

• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Предел Лапласа на сайте MathWorld Шаблон:Wayback