Уравнение Баркера

Уравнение Баркера — уравнение, в неявном виде, определяющее зависимость между положением небесного тела (истинной аномалией) и временем, при движении по параболической орбитеШаблон:Sfn. Данное уравнение широко применялось при изучении орбит кометШаблон:Sfn, орбиты которых имеют эксцентриситет близкий к единице. В настоящее время это уравнение находит применение в астродинамикеШаблон:Sfn

Задача, приводящая к уравнению Баркера

Решение задачи двух тел дает уравнение траектории в полярных координатах в виде

$r=\frac{p}{1+e\cos \vartheta }$

где $p$ — параметр орбиты; $e$ — эксцентриситет орбиты; $\vartheta$ — истинная аномалия — угол между радиус-вектором текущего положения тела и направлением на перицентр. С другой стороны, справедлив второй закон Кеплера

$r^2\frac{d\vartheta }{dt}=c$

где $c$ — константа площадей. Исходя из этих уравнений легко получить интеграл, связывающий время и истинную аномалию в точках $A_0$ и $A_1$ орбиты.

$t_1-t_0=\frac{p^2}{c}\underset{{\vartheta }_0}{\overset{{\vartheta }_1}{\int }}\frac{d\vartheta }{{(1+e\cos \vartheta )}^2}$

К выводу уравнения Кеплера и уравнения Баркера

Способ вычисления данного интеграла зависит от величины эксцентриситета (см. Уравнение Кеплера). Для параболической траектории $e=1$, в этом случае приходим к тривиальной цепочке преобразований

$t_1-t_0=\frac{p^2}{c}\underset{{\vartheta }_0}{\overset{{\vartheta }_1}{\int }}\frac{d\vartheta }{{(1+\cos \vartheta )}^2}=\frac{p^2}{4c}\underset{{\vartheta }_0}{\overset{{\vartheta }_1}{\int }}{(1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\frac{\vartheta }{2})}^{2}d\vartheta =|\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}=z,d\vartheta =\frac{2dz}{1+z^2}|=\frac{p^2}{2c}\underset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_0}{2}}{\overset{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_1}{2}}{\int }}(1+z^2)dz=\frac{p^2}{2c}[\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_1}{2}-\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_0}{2}+\frac{1}{3}({\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_1}{2}-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_0}{2})]$

Учитывая, что параметр орбиты связан с константой площадей

$p=\frac{c^2}{\mu }$

где $\mu$ — гравитационный параметр центрального тела, а константа площадей, в случае параболического движения

$c=r_{\pi }{v}_{\pi }=r_{\pi }\sqrt{\frac{2\mu }{r_{\pi }}}$

где $r_{\pi }$ — расстояние до перицентра; $v_{\pi }$ — скорость в перицентре, при движении по параболе являющаяся параболической скоростью. Тогда, получаем для параметра орбиты $p=2r_{\pi }$ и приходим к окончательному выражению

$t_1-t_0=r_{\pi }\sqrt{\frac{2r_{\pi }}{\mu }}[\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_1}{2}-\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{{\vartheta }_0}{2}+\frac{1}{3}({\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_1}{2}-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{{\vartheta }_0}{2})]$

Теперь примем, что начальная точка траектории — перицентр, значит ${\vartheta }_0=0$ и преобразуем полученную зависимость к виду

$n(t-t_0)=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}+\frac{1}{3}{\mathrm{t}\mathrm{g}}^3\frac{\vartheta }{2}$

где $n=\sqrt{\frac{\mu }{2r_{\pi }^3}}$ — среднее движение небесного тела. В итоге, получаем кубическое уравнение вида

$S+\frac{1}{3}{S}^3-M=0$

где $S=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}$, $M=n(t-t_0)$ — средняя аномалия орбиты небесного тела. Данное уравнение называют уравнением Баркера.

Это уравнение представляет собой неявную зависимость истинной аномалии от времени $\vartheta (t)$ при движении небесного тела по параболической траектории.

Решение уравнения Баркера

Уравнение

$S+\frac{S^3}{3}-M=0$

является кубическим уравнением, записанным в канонической форме Кардано и имеет аналитическое решение. Средствами компьютерной алгебры легко получить это решение, содержащее один действительный и два комплексно-сопряженных корня

$S_1=x-\frac{1}{x},S_{2,3}=-\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(x+\frac{1}{x})$

где $x=\frac{1}{2}\sqrt[3]{12M+4\sqrt{9M^2+4}}$

Физическому смыслу данной задачи соответствует только действительный корень, поэтому можно записать

$S=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\vartheta }{2}=x-\frac{1}{x}$

Имея этот корень, можно вычислить синус и косинус истинной аномалии

$\cos \vartheta =\frac{1-S^2}{1+S^2},\sin \vartheta =\frac{2S}{1+S^2}$

по которым, с учетом их знака, определяется истинная аномалия $\vartheta \in [0,2\pi )$

См. также

• Уравнение Кеплера
• Законы Кеплера
• Задача двух тел

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга