Группа Кремоны

Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов $n$ -мерного проективного пространства над полем $k$ . Группу ввёл в рассмотрение в 1863—1865 годах Луиджи Кремона Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Группа обозначается как $C r (ℙ^{n} (k))$ , $B i r (ℙ^{n} (k))$ или $C r_{n} (k)$ .

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов ${A u t}_{k} (k (x_{1}, . . ., x_{n}))$ поля рациональных функций от $n$ неизвестных над $k$ , или трансцендентным расширением поля $k$ со степенью трансцендентности $n$ .

Проективная полная линейная группа порядка $n + 1$ проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка $n$ . Они совпадают только в случаях, когда $n = 0$ или $n = 1$ , в которых числитель и знаменатель преобразования линейны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

В пространствах размерности два ГизатуллинШаблон:Sfn дал полное описание соотношений для системы образующих группы. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп.

Серж Канта и Стефан ЛамиШаблон:Sfn показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа.
Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп, замкнутых в естественной топологии.
Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы КремоныШаблон:Sfn.

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. БланкШаблон:Sfn показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос СерраШаблон:Sfn. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку ХадсонШаблон:Sfn показала, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом.

Группы де Жонкьера

Группа де Жонкьера^[1] — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности $x_{1}, . . ., x_{n}$ для расширения поля $k$ . Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов $k (x_{1}, . . ., x_{n})$ , отображающих подполе $k (x_{1}, . . ., x_{r})$ в себя для некоторого $r ⩽ n$ . Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов $k (x_{1}, . . ., x_{n})$ над полем $k (x_{1}, . . ., x_{r})$ , а фактор-группа является группой Кремоны $k (x_{1}, . . ., x_{r})$ над полем $k$ . Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка $ℙ^{r} \times ℙ^{n - r} \to ℙ^{r}$ .

Если $n = 2$ и $r = 1$ , группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением ${P G L}_{2} (k)$ и ${P G L}_{2} (k (t))$ .

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

↑ Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера:
преобразование де-Жонкьера: $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \to (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ , где $y_{i} = a_{i} x_{i} + f_{i} (x_{i + 1}, \dots, x_{n}), a_{i} \neq 0$ и $f_{i}$ — произвольный многочлен от переменных $x_{i + 1}, \dots, x_{n}$ .

[1] Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера:
преобразование де-Жонкьера: $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \to (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ , где $y_{i} = a_{i} x_{i} + f_{i} (x_{i + 1}, \dots, x_{n}), a_{i} \neq 0$ и $f_{i}$ — произвольный многочлен от переменных $x_{i + 1}, \dots, x_{n}$ .

[1]

Группа Кремоны

Содержание

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Группы де Жонкьера

Примечания

Литература

Навигация

Группа Кремоны

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Группы де Жонкьера

Примечания

Литература

Навигация

Поиск