Систолическое неравенство

Систола тора.

Систолическое неравенство — неравенство следующего вида

$\mathrm{sys}M⩽c_n\cdot \sqrt[n]{\mathrm{vol}M},$

где $M$ есть замкнутое $n$-мерное риманово многообразие в определённом классе, $\mathrm{sys}M$ — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на $M$ (так называемая систола $M$) и $\mathrm{vol}M$ — его объём.

Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многообразий конформно эквивалентных данному.

Для многих топологических типов многообразий, например для произведения сферы и окружности ${𝕊}^2\times {𝕊}^1$ систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на ${𝕊}^2\times {𝕊}^1$ с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.

Примеры

• Шаблон:Iw — оптимальное систолическое неравенство для двумерного тора ${𝕋}^2$ с константой $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}$.
• Неравенство Пу — оптимальное систолическое неравенство для вещественной проективной плоскости $ℝ{\mathrm{P}}^2$ с константой $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$.
• Оптимальная константа известна также для бутылки Кляйна; она равна $\frac{\sqrt{\pi }}{2^{3/4}}$.
• Систолическое неравенство выполняется для метрик конформно эквивалентных канонической метрике на торе и проективного пространства всех размерностей. Более того равенство достигается для канонической метрики.
• Неравенство Громова для существенных многообразий

  $\mathrm{sys}M⩽c_n\cdot \sqrt[n]{\mathrm{vol}M},$

  • В частности систолическое неравенство выполняется для всех замкнутых поверхностей кроме сферы, а также торов и проективных пространстве всех размерностей.
  • Известно, что оптимальная константа $c_n$ не превосходит $\sqrt[n]{n!}=\frac{n}{e}+o(n)$.
  • Пример проективного пространства с канонической метрикой даёт нижнюю оценку на $c_n$, которая растёт как $\sqrt{n}$; возможно это и есть оптимальная константа.