MHAT-вейвлет

График MHAT-вейвлета

MHAT-вейвлет (Mexican HAT — «Мексиканская шляпа») — вейвлет-функция, получаемая двукратным дифференцированием функции Гаусса:

$\psi (t)=-\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-t^2/2}=(1-t^2)e^{-t^2/2}$

Преобразование Фурье для этого вейвлета имеет следующий вид:

$\hat{\psi }(\omega )=\sqrt{2\pi }{\omega }^2{e}^{-{\omega }^2/2}$

Этот вейвлет имеет хорошую локализацию и по времени, и по частоте. Мерой локализации служат центры и радиусы, которые для функций$z(t)\in L^2(R)$ выражается следующим образом:

$⟨t⟩=\frac{1}{||z|{|}^2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t|z(t){|}^{2}dt,{\mathrm{\Delta }}_t^2=\frac{1}{||z|{|}^2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[t-⟨t⟩{]}^2|z(t){|}^{2}dt$

Для MHAT-вейвлета центры и радиусы во временной области (t) и в частотной (ω) имеют следующие значения:

$⟨t⟩=0,{\mathrm{\Delta }}_t=1.08,⟨\omega ⟩=1.51,{\mathrm{\Delta }}_{\omega }=0.49$

Первый и второй моменты у этого вейвлета также нулевые.

Функция получила своё название — Мексиканская шляпа — из-за сходства её графика с сомбреро.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web