Квадратичная задача собственных значений

Квадратичная задача собственных значений (КЗСЗ)Шаблон:Sfn — это задача поиска скалярных собственных значений $\lambda$, левых и правых собственных векторов $y$ и $x$, таких что

$Q(\lambda )x=0\text{ и }{y}^{\ast }Q(\lambda )=0,$

где функция (с матрицами в качестве значений) $Q(\lambda )={\lambda }^2{A}_2+\lambda A_1+A_0$, а коэффициенты являются матрицами $A_2,A_1,A_0\in {ℂ}^{n\times n}$. Мы также требуем, чтобы $A_2\ne 0$. Имеется $2n$ собственных значений, которые могут быть конечными или бесконечными, а возможно и нулевыми. Задача является частным случаем нелинейной задачи собственных значений. Функция $Q(\lambda )$ известна также как квадратный матричный многочлен.

Приложения

КЗСЗ может быть получена в динамическом анализе структур, дискретизированных методом конечных элементов. В этом случае квадратный многочлен $Q(\lambda )$ имеет вид $Q(\lambda )={\lambda }^{2}M+\lambda C+K$, где $M$ является матрицей масс, $C$ является Шаблон:Не переведено 5, а $K$ является матрицей жёсткости. Другими приложениями являются виброакустика и динамика жидкостей.

Методы решения

Прямые методы решения стандартной или обобщённой задач собственных значений $Ax=\lambda x$ и $Ax=\lambda Bx$ основываются на преобразовании задачи к форме Шура или обобщённой форме Шура. Для квадратичных матричных многочленов, однако, аналогичной формы нет. Одним из подходов является преобразование квадратичного матричного многочлена в линейный пучок матриц ($A-\lambda B$) и решение обобщённой задачи собственных значений. После того, как собственные значения и собственные вектора линейной задачи определены, можно найти собственные значения и собственные вектора квадратичной задачи.

Наиболее часто используется линеаризация

$L(\lambda )=\lambda \left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& E_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}C& K\\ -E_n& 0\end{array}\right],$

где $E_n$ — $n\times n$ единичная матрица, вместе с собственным вектором

$z=\left[\begin{array}{c}\lambda x\\ x\end{array}\right].$

Мы решаем уравнение $L(\lambda )z=0$ по $\lambda$ и $z$, например вычисляя обобщённую форму Шура. Затем мы можем взять первые $n$ элементов вектора $z$ в качестве собственного вектора $x$ исходной квадратичной функции $Q(\lambda )$.

Литература

• Шаблон:Статья