Разложение Шура

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.

Утверждение

Если $A$ является квадратной матрицей порядка $n$ с комплексными элементами, то её можно представить в виде:

$A=QU{Q}^{-1}$

где $Q$ — унитарная матрица (так что её обратная $Q^{-1}$ является эрмитово-сопряжённой $Q^{*}$ матрицы $Q$), а $U$ — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы $A$. Поскольку $U$ подобна матрице $A$, она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы $U$.

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность $A$-инвариантных подпространств $\{0\}=V_0\subset V_1\subset \dots \subset V_n={ℂ}^n$ и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых $i$ базисных векторов даёт $V_i$ для всех $i$ в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение $J$ на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг $V_1,\dots V_n$.

Доказательство

Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор $A$ в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение $\lambda$, соответствующее собственному пространству $V_{\lambda }$. Пусть $V_{\lambda }^{\perp }$ — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении $A$ имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы ${\mathbb{Z}}_1$ и ${\mathbb{Z}}_2$ для натянутых на них пространств $V_{\lambda }$ и $V_{\lambda }^{\perp }$ соответственно):

${\left[\begin{array}{cc}{Z}_1& Z_2\end{array}\right]}^{*}A\left[\begin{array}{cc}{Z}_1& Z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\lambda I_{\lambda }& A_{12}\\ 0& A_{22}\end{array}\right]:\begin{array}{c}{V}_{\lambda }\\ \oplus \\ V_{\lambda }^{\perp }\end{array}\to \begin{array}{c}{V}_{\lambda }\\ \oplus \\ V_{\lambda }^{\perp }\end{array}$,

где $I_{\lambda }$ — тождественный оператор на $V_{\lambda }$. Полученная матрица треугольна за исключением блока $A_{22}$. Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы $A_{22}$, которая рассматривается как оператор на $V_{\lambda }^{\perp }$ и её подматрицы. Продолжив процедуру $n$ раз, пространство ${ℂ}^n$ будет исчерпано и построение даст желаемый результат.

Особенности

Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство $V_{\lambda }$ может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для $V_{\lambda }$ даст желаемый результат.

Треугольная матрица $U$ может быть представлена в виде суммы диагональной $D$ и строго верхней треугольной $N$: $U=D+N$. Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица $D$ содержит собственные значения матрицы $A$ в случайном порядке. Нильпотентная часть $N$ в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей $A$, так как норма Фробениуса матрицы $A$ равна норме Фробениуса матрицы $U=D+N$.

Если $A$ является нормальной, то её форма Шура $U$ диагональна, а столбцы матрицы $Q$ разложения $QU{Q}^{-1}$ будут собственными векторами матрицы $A$. Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если $A$ является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.

Коммутативное семейство матриц $\{A_i\}$ может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица $Q$, такая что для любой $A_i$ из данного семейства выполнено $Q{A}_i{Q}^{*}$ является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к диагональному виду.

В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление

Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоритмов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack.

Приложения

Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты Шаблон:Не переведено 5, в частности:

• любой обратимый оператор содержится в подгруппе Бореля,
• любой оператор фиксирует точку в Шаблон:Не переведено 5.

Обобщённое разложение Шура

Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц $A$ и $B$ — согласованная пара разложений обеих матриц $A=QS{Z}^{*}$ и $B=QT{Z}^{*}$, где $Q$ и $Z$ — унитарны, а $S$ и $T$ — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.

Обобщённые собственные значения $\lambda$, решающие задачу обобщённых значений $Ax=\lambda Bx$ (где $x$ — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов $S$ к соответствующит элементам $T$. То есть, $i$-е обобщённое собственное значение ${\lambda }_i$ удовлетворяет равенству ${\lambda }_i=S_{ii}/T_{ii}$.

Литература

• Шаблон:Книга