Пучок матриц

Пучок матриц — функция $L(\lambda )$ от комплексного аргумента, возвращающая для заданного набора ненулевых матриц $A_0,A_1,\dots ,A_l$ комбинацию:

$L(\lambda )=\sum _{i=0}^l{\lambda }^i{A}_i$.

($l$ называется степенью пучка).

Шаблон:ЯкорьЧастным случаем является линейный пучок матриц $A-\lambda B$ с $\lambda \in ℂ$ (или $\lambda \in ℝ$), где матрицы $A$ и $B$ являются комплексными (или вещественными) $n\times n$-матрицамиШаблон:Sfn. Такой пучок кратко обозначается $(A,B)$.

Шаблон:ЯкорьПучок называется регулярным, если имеется по меньшей мере одно значение $\lambda$, для которого $\det (A-\lambda B)\ne 0$. Собственные значения пучка матриц $(A,B)$ называются все комплексные числа $\lambda$, для которых $\det (A-\lambda B)=0$ (по аналогии с собственными значениями матриц). Множество собственных значений называется спектром пучка и записывается как $\sigma (A,B)$. Также считается, что пучок имеет (одно или более) собственное значение на бесконечности, если $B$ имеет (одно или более) нулевых собственных значений.

Если две матрицы коммутируют ($AB=BA$), то образованный ими пучок удовлетворяет одному из следующих условийШаблон:Sfn:

• состоит только из матриц, подобных диагональной,
• не имеет матриц, подобных диагональной,
• имеет в точности одну матрицу, подобную диагональной.

Пучки матриц играют важную роль в численных методах линейной алгебры. Задача нахождения собственных пучков называется обобщённой задачей нахождения собственных значений. Наиболее распространённым методом решения этой задачи является QZ-алгоритм, который является неявной версией QR-алгоритма для решения связанной задачи собственных значений $B^{-1}Ax=\lambda x$ без явного формирования матрицы $B^{-1}A$ (что может быть невозможно или плохо обусловлено, если $B$ вырождена или почти вырождена).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга