Доказательство иррациональности e

Число e открыл Якоб Бернулли в 1683 году. Более чем полвека спустя Эйлер, который был учеником младшего брата Якоба Иоганна, доказал, что е иррационально, то есть не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.

Доказательство Эйлера

Эйлер впервые доказал иррациональность е в 1737 году, само доказательство было опубликовано семь лет спустя. Он нашел представление е в виде цепной дроби

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots ,2n,1,1,\dots ].$

Поскольку эта цепная дробь бесконечна, а цепная дробь рациональных чисел конечна, то e иррационально. Были найдены краткие доказательства равенства выше. Поскольку цепная дробь e не периодическая, это доказывает, что e не может быть корнем квадратичного многочлена с рациональными коэффициентами, откуда следует, что e² также иррационально.

Доказательство Фурье

Самым известным доказательством является доказательство Фурье, которое построено от противного и основано на представлении e бесконечным рядом

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\cdot$

Предположим, что e — рациональное число вида a/b, где a — целое, а b — натуральное. Число b не может быть равно 1, поскольку e не целое. Из бесконечного ряда выше можно показать, что e находится строго между 2 и 3:

$2=1+\frac{1}{1!}<e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots <1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots )=3.$

Определим число

$x=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$

Покажем, что x является целым числом. Для этого подставим e =Шаблон:Дробь2 в это равенство

$x=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}.$

Первое слагаемое является целым числом, и каждая дробь в сумме также целое число, поскольку Шаблон:Nobr для каждого числа под знаком суммы. Следовательно, x — целое число.

Теперь докажем, что Шаблон:Nobr. Чтобы доказать, что x > 0, подставим представление e в виде ряда в определение x

$x=b!(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}>0,$

так как все слагаемые в сумме строго положительные.

Теперь докажем, что Шаблон:Nobr Для всех членов с Шаблон:Nobr справедлива оценка сверху

$\frac{b!}{n!}=\frac{1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}\le \frac{1}{(b+1{)}^{n-b}}.$

Это неравенство строгое для любого Шаблон:Nobr Изменив индекс суммирования на Шаблон:Nobr и используя формулу для бесконечного геометрического ряда, получим

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}<\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^{n-b}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^k}=\frac{1}{b+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{b+1}}\right)=\frac{1}{b}<1.$

Поскольку не существует целого числа x строго между 0 и 1, мы пришли к противоречию, следовательно e должно быть иррациональным. Q. E. D.

Другие доказательства

Из доказательство Фурье можно получить другое доказательство, заметив, что

$(b+1)x=1+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{(b+2)(b+3)}+\cdots <1+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\cdots =1+x,$

что равносильно утверждению, что bx < 1. Конечно, это невозможно, поскольку b и x — натуральные числа.

Еще одно доказательство можно получить из равенства

$\frac{1}{e}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\cdot$

Определим $s_n$ как:

$s_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

Тогда

$e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}-\sum _{k=0}^{2n-1}\frac{(-1{)}^k}{k!}<\frac{1}{(2n)!},$

откуда следует

$0<(2n-1)!(e^{-1}-s_{2n-1})<\frac{1}{2n}\le \frac{1}{2}$

для любого целого $n\ge 2.$

Заметим, что $(2n-1)!s_{2n-1}$ всегда целое число. Предположим, что $e^{-1}$ рациональное вида $e^{-1}=\frac{p}{q}$, где $p,q$ взаимно простые числа и $q\ne 0.$ Можно так подобрать $n$, что $(2n-1)!e^{-1}$ будет целым числом, например, взяв $n\ge \frac{q+1}{2}.$ Для такого $n$ разность между $(2n-1)!e^{-1}$ и $(2n-1)!s_{2n-1}$ будет целым числом. Но ввиду неравенства выше это целое число должно быть менее 1/2, что невозможно. Получено противоречие, следовательно $e^{-1}$ иррационально, а значит $e$ иррационально тоже.

Обобщения

В 1840 году Лиувилль опубликовал доказательство иррациональности e², следовавшее из доказательства того, что e² не может быть корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами. Отсюда следует, что e⁴ также иррационально. Доказательство Лиувилля аналогично доказательству Фурье. В 1891 году Гурвиц, используя схожие идеи, нашел, что е не может быть корнем многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами, и, в частности, что e³ иррационально.

Более общо, e^q иррационально для любого ненулевого рационального q.

См. также

• Шаблон:Iw
• Трансцендентное число
• Теорема Линдеманна — Вейерштрасса