Омега (постоянная)

Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1$.

Это значение $W(1)$, где $W$ — W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение $\mathrm{\Omega }$:

$\mathrm{\Omega }=0.567143290409783872999968662210355549753815787186512508135131079\dots$ (Шаблон:OEIS)

$\frac{1}{\mathrm{\Omega }}=1.763222834351896710225201776951707080436017986667473634570456905\dots$ (Шаблон:OEIS)

Свойства

Представление в виде неподвижной точки отображения

Определяющее соотношение можно выразить, например, как

$\ln \left(\frac{1}{\mathrm{\Omega }}\right)=\mathrm{\Omega }$

или

$-\ln (\mathrm{\Omega })=\mathrm{\Omega }$

или

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$

Вычисление

Можно вычислить $\mathrm{\Omega }$ итеративно, начав с первоначального предположения ${\mathrm{\Omega }}_0$ и рассмотрев последовательность

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}$

Эта последовательность сходится к $\mathrm{\Omega }$, когда n стремится к бесконечности. Это потому, что $\mathrm{\Omega }$ является притягивающей неподвижной точкой функции $e^{-x}$. Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}}$,

потому что функция

$f(x)=\frac{1+x}{1+e^x}$,

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея, $\mathrm{\Omega }$ можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

${\mathrm{\Omega }}_{j+1}={\mathrm{\Omega }}_j-\frac{{\mathrm{\Omega }}_j{e}^{{\mathrm{\Omega }}_j}-1}{e^{{\mathrm{\Omega }}_j}({\mathrm{\Omega }}_j+1)-\frac{({\mathrm{\Omega }}_j+2)({\mathrm{\Omega }}_j{e}^{{\mathrm{\Omega }}_j}-1)}{2{\mathrm{\Omega }}_j+2}}$.

Интегральные представления

Тождество Виктора Адамчика:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(e^t-t{)}^2+{\pi }^2}=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}$.

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо:

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\log \left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right)dt$,

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\log (1+\frac{\sin t}{t}{e}^{t\cot t})dt$.

Трансцендентность

Константа $\mathrm{\Omega }$ трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что $\mathrm{\Omega }$ алгебраическое. По теореме $e^{-\mathrm{\Omega }}$ трансцендентно, но $\mathrm{\Omega }=e^{-\mathrm{\Omega }}$; противоречие. Следовательно, $\mathrm{\Omega }$ должно быть трансцендентным числом.

См. также

• W-функция Ламберта

Источники

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Citation