Тридцатиугольник

Правильный тридцатиугольник

Углы	30
Символ Шлефли	{30}, t{15}

Тридцатиугольник, триаконтагон ― многоугольник с 30 углами и 30 сторонами. Как правило, тридцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае тридцатиугольника углы равны 168°).

Правильный тридцатиугольник

Площадь

Площадь правильного тридцатиугольника со стороной a находится по формуле:

S = 15 a^{2} \cdot \cot (6^{\circ}) \approx 71, 3577334 a^{2}

Или, при радиусе описанной окружности R:

S = 15 R^{2} \cdot \sin (1 2^{\circ}) \approx 3, 118675 R^{2}

Или, при радиусе вписанной окружности r:

S = 30 r^{2} \cdot \tan (6^{\circ}) \approx 3, 153127 r^{2}

Центральный угол правильного тридцатиугольника равен 12°.

Построение

Поскольку 30 = 2×3×5, а 3 и 5 — два простых числа Ферма, правильный тридцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля.^[1]

Другие формулы

S = \frac{15}{2} a^{2} (\sqrt{23 + 10 \sqrt{5} + 2 \sqrt{3 (85 + 38 \sqrt{5})}}) = \frac{15}{4} a^{2} (\sqrt{15} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{25 + 11 \sqrt{5}})

r = \frac{1}{2} a \cot \frac{π}{30} = \frac{1}{4} a (\sqrt{15} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{25 + 11 \sqrt{5}})

R = \frac{1}{2} a \csc \frac{π}{30} = \frac{1}{2} a (2 + \sqrt{5} + \sqrt{15 + 6 \sqrt{5}})

Разбиение

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный $2 m$ -угольник (в общем случае - $2 m$ -угольный зоногон) можно разбить на $\frac{m (m - 1)}{2}$ ромбов. Для тридцатиугольника $m = 15$ , так что он может быть разбит на 105 ромбов.