P-матрица

В Математика Шаблон:Mvar-матрица - это комплексная Квадратная матрица, для которой каждый главный Минор (линейная алгебра) положителен. С тесно связанным классом являются $P_0$-матрицы, которые являются замыканием класса Шаблон:Mvar-матриц, с каждым главным минором $\ge$ 0.

Спектры P-матриц

По теореме Келлогга, Собственные значения из Шаблон:Mvar- и $P_0$- матрицы ограничены от клина относительно отрицательной вещественной оси следующим образом:

Если$\{u_1,...,u_n\}$ являются собственными значениями n-мерной P-матрицы, где $n>1$, тогда

$|\arg (u_i)|<\pi -\frac{\pi }{n},i=1,...,n$

Если $\{u_1,...,u_n\}$, $u_i\ne 0$, $i=1,...,n$ являются собственными значениями Шаблон:Mvar-мерного $P_0$-матрица, тогда

$|\arg (u_i)|\le \pi -\frac{\pi }{n},i=1,...,n$>

Примечания

Класс неособых M-матрица является подмножеством класса Шаблон:Mvar-матриц. Более точно, все матрицы, которые одновременно являются Шаблон:Mvar-матрицами и Z-матрица (математика), являются неособыми Шаблон:Mvar-матрицами. Класс достаточных матриц является еще одним обобщением Шаблон:Mvar-матриц.

Линейная задача о дополнительности $\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{P}(M,q)$ имеет уникальное решение для каждого вектора Шаблон:Mvar тогда и только тогда, когда Шаблон:Mvar является Шаблон:Mvar-матрицей. Это означает, что если Шаблон:Mvar является Шаблон:Mvar-матрицей, то Шаблон:Mvar является [[Q-матрица|Шаблон:Mvar-матрицей]].

Если Матрица Якоби функции является Шаблон:Mvar-матрицей, то функция инъективна в любой прямоугольной области ${ℝ}^n$.

Связанный класс, который представляет интерес, особенно с точки зрения стабильности, это класс $P^{(-)}$-матриц, иногда также называемых $N-P$-матрицами. Матрица Шаблон:Mvar является $P^{(-)}$-матрицей тогда и только тогда, когда $(-A)$ является Шаблон:Mvar-матрицей (аналогично для $P_0$-матриц). Поскольку $\sigma (A)=-\sigma (-A)$, собственные значения этих матриц ограничены от положительной вещественной оси.

Литература

• Шаблон:Cite journal
• David Gale and Hukukane Nikaido, The Jacobian matrix and global univalence of mappings, Math. Ann. 159:81-93 (1965) Шаблон:Doi
• Li Fang, On the Spectra of Шаблон:Mvar- and $P_0$-Matrices, Linear Algebra and its Applications 119:1-25 (1989)
• R. B. Kellogg, On complex eigenvalues of Шаблон:Mvar and Шаблон:Mvar matrices, Numer. Math. 19:170-175 (1972)