Символ Кронекера

Шаблон:Distinguish Символ Кро́некера (или дельта Кронекера или кронекериа́н) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна Шаблон:Num1, если они равны, и Шаблон:Num1 в противном случае:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$

Например, ${\delta }_{12}=0$, но ${\delta }_{33}=1$.

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса $(e_i,e_j)={\delta }_{ij}$, а также — в общем случае — для определения дуальных базисов $(e_i,f^j)={\delta }_i^j$, где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: $({\delta }_{ij}{)}_{i,j=1}^n$ (элементы единичной матрицы записываются как ${\delta }_{ij}$).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор. В частности, могут использоваться различные написания ${\delta }_{ij},{\delta }_j^i,{\delta }^{ij}$ для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае ${\delta }_{ij},{\delta }_j^i,{\delta }^{ij}$ — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех).

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году.

См. также

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция