Модель SABR

Модель SABR (stochastic alpha-beta-rho) — в финансовой математике модель динамики цен активов или процентных ставок со стохастической волатильностью следующего вида :

$d{F}_t={\sigma }_{t}C(F_t)d{W}_t^F$

$d{\sigma }_t=\alpha {\sigma }_{t}d{W}_t^{\sigma }$

$d{W}_t^{F}d{W}_t^{\sigma }=\rho dt$

где в классическом случае $C(F)=F_t^{\beta }$. Для учёта теоретической возможности отрицательных ставок/цен используют также модель со смещением (shifted SABR): $C(F)=(F_t+s{)}^{\beta }$

По существу такая модель является существенно обобщенной и включает в себя в качестве частных или предельных случаев некоторые другие базовые модели, например если параметр "волатильность волатильности" равен нулю, то получим так называемую CEV-модель, которая свою очередь в качестве предельных частных случае содержит нормальную модель (нулевая "бетта"), логнормальную модель ("бетта" равно 1). Также возможно рассмотрение модели с нулевой корреляцией - в таком случае обобщение "классических" моделей заключается просто в наличии некоторого разброса "сигмы", например в рамках нормальной или логнормальной модели.

При моделировании процентных ставок обычно модель описывает форвардную ставку для конкретного будущего периода в соответствующей форвардной мере. Соответственно параметры аналогичных моделей для форвардных ставок разной срочности могут потенциально иметь разные значения параметров. Совместное моделирование одновременно всех форвардных ставок разных срочностей возможно, например, в рамках модели SABR-LMM.

Модель позволяет объяснить так называемую улыбку вменённой волатильности в рамках модели Блэка-Шоулза или Башелье. Несмотря на то, что существуют достаточно точные аналитические подходы к оценке опционов в рамках модели SABR (при нулевой корреляции эти формулы точные), тем не менее, соответствующие формулы достаточно сложны и предполагают в том числе неоднократное численное интегрирование сложных функций. Поэтому на практике часто применяют иной подход - используют аппроксимации нормальной или логнормальной волатильности для оценки опционов стандартными формулами Блэка или Башелье.

Формула для волатильности Блэка (логнормальной, относительной)

Первая приближенная аппроксимация волитильности Блэка была выведена в 2002 году в статье четырех авторов - Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski, and Diana Woodward (формулу аппроксимации иногда обозначают аббревиатурой из фамилий авторов - HKLW). В дальнейшем указанная формула была исправлена/скорректирована работами Berestickiy (2004) и Obloj (2008). Ниже приводится исправленная версия формулы.

Общая формула аппроксимации

${\sigma }_B(F,K,\tau )=I^0(1+I^1\epsilon )+O({\epsilon }^2)$

где $\epsilon ={\alpha }^2\tau$ (где $\tau$ - срок до экспирации опциона в годах):

$I^0=\frac{\alpha \ln \frac{F_0}{K}}{\ln \frac{\sqrt{1-2\rho z+z^2}+z-\rho }{1-\rho }}$

$I^1=\frac{2{\gamma }_2-{\gamma }_1^2+1/F_{\text{mid}}^2}{24}{\left(\frac{{\sigma }_{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }\right)}^2+\frac{\rho {\gamma }_1}{4}\frac{{\sigma }_{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }+\frac{2-3{\rho }^2}{24}$

где $F_{\text{mid}}$ некоторое среднее значение между $F_0$ and $K$ (обычно выбирается как среднее геометрическое $\sqrt{F_{0}K}$ или арифметическое среднее $(F_0+K)/2$).

$z=\frac{\alpha }{{\sigma }_0}\underset{K}{\overset{F_0}{\int }}\frac{dx}{C(x)},{\gamma }_1=\frac{C^{\prime }(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})},{\gamma }_2=\frac{C^{″}(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}$

Формула для классической модели SABR

Для классического случая $C\left(F\right)=F^{\beta }$, поэтому ${\gamma }_1=\frac{\beta }{F_{\text{mid}}},{\gamma }_2=-\frac{\beta (1-\beta )}{F_{\text{mid}}^2}$. Соответственно

$I^1\epsilon =[\frac{(\beta -1{)}^2{\sigma }_0^2}{24F_{mid}^{2(1-\beta )}}+\frac{\rho \alpha {\sigma }_0\beta }{4F_{mid}^{1-\beta }}+\frac{2-3{\rho }^2}{24}{\alpha }^2]\tau$

Далее в общем случае $z=\frac{\alpha }{{\sigma }_0}\frac{F_0^{1-\beta }-K^{1-\beta }}{1-\beta }$, но в предельном случае $\beta =1$ имеем $z=\frac{\alpha }{{\sigma }_0}\ln \frac{F_0}{K}$. Но как в общем случае, так и в указанном предельном случае имеет место общая вышеприведенная формула для $I^0$. Однако, имеются две предельные ситуации, требующие прямого указания аналитической формулы:

- для случая ATM $(F_0=K)$ имеем $I^0={\sigma }_0{K}^{1-\beta }$

- для случая $\alpha =0$ имеем $I^0=\frac{{\sigma }_0(1-\beta )\ln \frac{F_0}{K}}{F_0^{1-\beta }-K^{1-\beta }}$

Формула преобразования волатильности Башелье в волатильность Блэка

Крайне тривиальный для модели SABR случай, когда $\beta =0,\alpha =0$ по существу означает обыкновенную нормальную модель (модель Башелье), поэтому вышеприведенные формулы позволяют выразить логнормальную волатильность через нормальную по следующей формуле:

${\sigma }_B=\frac{{\sigma }_N}{K}\left[\frac{\ln \frac{F_0}{K}}{\frac{F_0}{K}-1}\right](1+\frac{{\sigma }_N^2}{24F_{mid}^2}\tau )$

где функция в квадратных скобках в случае ATM равна 1.

Формула волатильности Башелье (нормальной, абсолютной)

Для аппроксимации нормальной волатильности формулы немного отличаются:

$I^0=\alpha \frac{F_0-K}{\ln \frac{\sqrt{1-2\rho z+z^2}+z-\rho }{1-\rho }}$

$I^1=\frac{2{\gamma }_2-{\gamma }_1^2}{24}{\left(\frac{{\sigma }_{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }\right)}^2+\frac{\rho {\gamma }_1}{4}\frac{{\sigma }_{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }+\frac{2-3{\rho }^2}{24}$

Для классического случая $C\left(F\right)=F^{\beta }$, величины ${\gamma }_1,{\gamma }_2,z$ рассчитываются аналогично. Поэтому

$I^1\epsilon =[\frac{[(\beta -1{)}^2-1]{\sigma }_0^2}{24F_{mid}^{2(1-\beta )}}+\frac{\rho \alpha {\sigma }_0\beta }{4F_{mid}^{1-\beta }}+\frac{2-3{\rho }^2}{24}{\alpha }^2]\tau$

Формула преобразования волатильности Блэка в волатильность Башелье

Тривиальный для модели SABR случай, когда $\beta =1,\alpha =0$ по существу означает обыкновенную логнормальную модель (модель Блэка), поэтому вышеприведенные формулы позволяют выразить нормальную волатильность через логнормальную по следующей формуле:

${\sigma }_N={\sigma }_{B}K\left[\frac{\frac{F_0}{K}-1}{\ln \frac{F_0}{K}}\right](1-\frac{{\sigma }_B^2}{24}\tau )$

где функция в квадратных скобках в случае ATM равна 1.