Умножение вектора на число

Справа исходный вектор a умножен на положительное число 2, а слева — на отрицательное число −1

Умноже́ние ве́ктора на число́, или умножение вектора на скаля́р (Шаблон:Lang-en) — операция, ставящая в соответствие вектору и числу (скаляру) другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это числоШаблон:Sfn. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых сомножителей — новый вектор, у которогоШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.

Обозначение произведения вектора $𝐚$ и скаляра $\lambda$ следующееШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚\lambda$ или $\lambda 𝐚.$

В итоге получаемШаблон:Sfn:

$|\lambda 𝐚|=|𝐚\lambda |=|\lambda ||𝐚|.$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\lambda \mathrm{𝟎}=0𝐚=\mathrm{𝟎}.$

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

• деление вектора на число;
• деление вектора на вектор.

Определение

Умножение вектора на число — операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это числоШаблон:Sfn.

Умножение вектора a на целое положительное число n

Умножение вектора a на целое отрицательное число -n

Умножение вектора $𝐚$ на целое положительное число $n$ равно сложению вектора $𝐚$ с самим собою $n$ раз. В результате возникает новый вектор $n𝐚$ с тем же направлением, что и исходный, но в $n$ раз большим модулемШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$n𝐚=\underset{n\text{слагаемых}}{\underbrace{𝐚+𝐚+\cdots +𝐚}}.$

Тогда умножение вектора $𝐚$ на целое отрицательное число $-n$ равно умножению противоположного вектора $-𝐚$ на абсолютную величину целого числа $|-n|=n$Шаблон:Sfn:

$(-n)𝐚=n(-𝐚).$

Другими словами, в результате возникает новый вектор $-n𝐚$ с направлением, противоположным исходному вектору $𝐚$ и в $n$ раз большим модулемШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обобщая, получаем, что произведение вектора и числа в случае ненулевых сомножителей — новый вектор, у которогоШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно.

Обозначения произведения вектора $𝐚$ и скаляра $\lambda$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚\lambda$ или $\lambda 𝐚.$

Отсюда следует, что модуль произведения вектора и скаляра равен произведению их модулейШаблон:Sfn:

$|\lambda 𝐚|=|𝐚\lambda |=|\lambda ||𝐚|.$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\lambda \mathrm{𝟎}=0𝐚=\mathrm{𝟎}.$

Законы умножения на скаляр

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чиселШаблон:Sfn:

• переместительности (коммутативность):

$\lambda 𝐚=𝐚\lambda$;

• сочетательности (ассоциативность):

$\lambda (\mu 𝐚)=(\lambda \mu )𝐚$;

• распределительности (дистрибутивность):

$(𝐚+𝐛)\lambda =𝐚\lambda +𝐛\lambda$;

$(\lambda +\mu )𝐚=\lambda 𝐚+\mu 𝐚$.

Теорема 1. Закон переместительности. Произведение вектора на число не изменяется при перестановке сомножителейШаблон:Sfn:

$\lambda 𝐚=𝐚\lambda .$

Доказательство. По определению произведение вектора на число равно произведению числа на вектор, обе эти операции тождественныШаблон:Sfn.

Теорема 2. Закон сочетательности для числовых множителей. Последовательное произведение вектора на несколько чисел равно произведению вектора на произведение чиселШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\lambda (\mu 𝐚)=(\lambda \mu )𝐚.$

Теорема 3. Закон двоякой распределительности. Почленно можно вычислять произведения суммШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• векторов на число (закон распределительности числового сомножителя относительно суммы векторовШаблон:Sfn):

$(𝐚+𝐛)\lambda =𝐚\lambda +𝐛\lambda$;

• чисел на вектор (закон распределительности векторного сомножителя относительно суммы чиселШаблон:Sfn)Шаблон:Sfn:

$(\lambda +\mu )𝐚=\lambda 𝐚+\mu 𝐚$.

Доказанная формула закона распределительности числового сомножителя относительно суммы векторов

$(𝐚+𝐛)\lambda =𝐚\lambda +𝐛\lambda$;

верна и для нескольких векторовШаблон:Sfn:

$({𝐚}_1+{𝐚}_2+\cdots +{𝐚}_n)\lambda ={𝐚}_1\lambda +{𝐚}_2\lambda +\cdots +{𝐚}_n\lambda$.

Деление векторов

Деление вектора на число

Деление вектора на число (Шаблон:Lang-en) — первая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — частное вектора и числа. Другими словами, по произведению вектора на число и числу определяется вектор-сомножитель. При этом частное $𝐚:\lambda \equiv \frac{𝐚}{\lambda }$ — это второй вектор $𝐛=\frac{𝐚}{\lambda }$ такой, что $\lambda 𝐛=𝐚$Шаблон:Sfn.

Частное вектора и числа определяется умножением вектора на обратное числоШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{𝐚}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }𝐚$.

Деление вектора на вектор

Деление вектора на вектор (Шаблон:Lang-en), причём второй вектор ненулевой, — вторая операция, обратная умножению вектора на число, ставящая в соответствие двум коллинеарным векторам, причём второй вектор ненулевой, число — частное, или отношениеШаблон:Sfn, двух коллинеарных векторов. Другими словами, по произведению ненулевого вектора на число и второму коллинеарному вектору определяется число-сомножитель. При этом частное $𝐚:𝐛\equiv \frac{𝐚}{𝐛}$ — это число $\lambda =\frac{𝐚}{𝐛}$ такое, что $\lambda 𝐛=𝐚$Шаблон:Sfn.

Частное, или отношение, $\frac{𝐚}{𝐛}$ двух коллинеарных векторов $𝐚$ и $𝐛$, причём второй вектор ненулевой, вычисляется следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• $|\lambda |=\left|\frac{𝐚}{𝐛}\right|=\frac{|𝐚|}{|𝐛|}$;
• $\lambda >0$, если векторы $𝐚$ и $𝐛$ сонаправлены, $\lambda <0$, если векторы $𝐚$ и $𝐛$ противоположно направлены, и $\lambda =0$, если $𝐚=\mathrm{𝟎}$.

Частное равных векторов равно 1. Два вектора взаимно противоположны, если их частное равно −1, тогда их можно обозначить $𝐚$ и $-𝐚$. Частное нулевого вектора и любого другого ненулевого равно нулю. Частное любого вектора и нулевого не определеноШаблон:Sfn. Если $\frac{𝐚}{𝐜}=\frac{𝐛}{𝐜}$, то $𝐚=𝐛$Шаблон:Sfn.

Для любых трёх векторов $𝐚$, $𝐛$ и $𝐜$, причём векторы $𝐛$ и $𝐜$ ненулевые, выполняется следующее равенствоШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\frac{\frac{𝐚}{𝐜}}{\frac{𝐛}{𝐜}}=\frac{𝐚}{𝐜}\frac{𝐜}{𝐛}=\frac{𝐚}{𝐛}$.

Деление вектора на вектор используется при разложении вектора в одномерном случаеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Разложение вектора

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия, которые рассматриваются в следующих трёх разделахШаблон:Sfn.

Одномерный случай

Умножение вектора на положительные (синие) и отрицательные (красные) числа: частное синих векторов и чёрного вектора равны 2 и 0,5; частные красных векторов и чёрного вектора равны Шаблон:S

Векторы Если векторы $𝐚$ и $𝐛$ связаны соотношением

$𝐚=\lambda 𝐛$,

то они коллинеарны. Обратное утверждение также справедливо по следующей теоремеШаблон:Sfn.

Теорема 4. Разложение вектора по одному коллинеарному вектору. Любой вектор $𝐚$ можно единственным образом выразить через коллинеарный вектор $𝐛$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚=\lambda 𝐛$,

где $\lambda =\frac{𝐚}{𝐛}$ — число, которые вычисляется так, как показано в предыдущем разделе Деление векторов.

Рассмотрим случай равенства единице модуля одного из коллинеарных векторов, то есть когда этот вектор единичный, или орт. Орт вектора $𝐚$ обозначают ${𝐚}^0$ или ${𝐚}_1$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьШаблон:ЯкорьОрт вектора ${𝐚}^0=\frac{𝐚}{|𝐚|}$ называется также направлением вектораШаблон:Sfn.

Теорема 5. Любой вектор равен произведению его орта на его модуль, другими словами, умножение орта вектора на его модуль даёт сам векторШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚=|𝐚|{𝐚}^0$.

Эта формула замечательна тем, что в ней оба элемента, которые характеризуют вектор, разделеныШаблон:Sfn:

• модуль вектора $|𝐚|$;
• направление вектора ${𝐚}^0$.

Двумерный случай

Разложение вектора по двум векторам

Если два вектора $𝐚$ и $𝐛$ не коллинеарны, то третий вектор — сумма векторов

$𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛$

будет всегда параллелен плоскости, которую определяют векторы $𝐚$ и $𝐛$, то есть эти три вектора компланарны, так как геометрическая сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той же плоскости. Обратное утверждение также справедливо, как показывает следующая теоремаШаблон:Sfn.

Теорема 6. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, если все три вектора компланарны. Любой вектор $𝐜$ единственным способом выражается через неколлинеарные ненулевые векторы $𝐚$ и $𝐛$, компланарные исходномуШаблон:Sfn:

$𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛$.

Векторное уравнение прямой

Теорема 7. Уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $A$ с радиус-вектором $𝐚=\overrightarrow{OA}$ и параллельной заданному вектору $𝐛=\overrightarrow{OB}$, задаётся следующим радиус-вектором произвольной точки прямой $C$Шаблон:Sfn:

$\overrightarrow{OC}=𝐜=𝐚+\mu 𝐛$.

Другими словами, радиус-вектор $\overrightarrow{OC}=𝐜$ произвольной точки $C$ заданной прямой (относительно произвольной фиксированной точки $O$) разлагается на сумму радиус-вектора $𝐚=\overrightarrow{OA}$ заданной точки $A$ прямой и направляющего вектора $𝐛$ прямой с числовым коэффициентом $\mu$.

Доказательство. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AC}=𝐜-𝐚=\mu 𝐛$,

следовательно, вектор $\overrightarrow{AC}$ коллинеарен вектору $𝐛$, и точка $C$ всегда находится на прямой, параллельной вектору $𝐛$ и проходящей через точку $A$Шаблон:Sfn.

Трёхмерный случай

Теорема 8. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор $𝐝$ трёхмерного пространства единственным способом выражается через некомпланарные ненулевые векторы $𝐚,𝐛,𝐜$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐝=\lambda 𝐚+\mu 𝐛+\nu 𝐜$.

Координаты вектора — числовые коэффициенты $\lambda ,\mu ,\nu$ вектора $𝐝$ относительно $𝐚,𝐛,𝐜$Шаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H