Логарифмически выпуклое множество

Выпуклая оболочка логарифмического образа несвязного множества

Логарифми́чески вы́пуклое мно́жество (Шаблон:Lang-en) — понятие вещественного и комплексного анализа, разделов математики, множество комплексного пространства, логарифмический образ которого выпукл в вещественном пространствеШаблон:Sfn.

Определение логарифмически выпуклого множества

Шаблон:Якорь Логарифмический образ $M^{*}$ (Шаблон:Lang-en) множества $M\subset {ℂ}^n$ — множество

$M^{*}=\lambda (M_0)$,

гдеШаблон:Sfn:

$\lambda :\{z\in {ℂ}^n:z_1{z}_2\dots z_n\ne 0\}\to {ℝ}^n:z\to \lambda (z)=(\ln |z_1|,\ln |z_2|,\dots ,\ln |z_n|),$

$M_0=\{z\in M:z_1{z}_2\dots z_n\ne 0\}.$

Другими словами, это следующее множествоШаблон:Sfn:

$M^{*}=\{\xi :\xi \in {ℝ}^n,(e^{{\xi }_1},e^{{\xi }_2},\dots ,e^{{\xi }_n})=(|z_1|,|z_2|,\dots ,|z_n|),(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in M\}.$

Логарифмически выпуклое множество (Шаблон:Lang-en) — множество $M\subset {ℂ}^n$ с выпуклым логарифмическим образом $M^{*}\subset {ℝ}^n$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

В терминах определения понятия «выпуклость» это определение перепишется следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

логарифмически выпуклое множество — множество $M\subset {ℂ}^n$, которое вместе с двумя произвольными своими точками $z^{\prime }$ и $z^{″}$ содержит также и любые точки $z$, для которых

$\ln |z|=t\ln |z^{\prime }|+(1-t)\ln |z^{″}|,$ $t\in (0,1).$

Чтобы избежать не совсем удобных логарифмов, поскольку для $z_k=0$ получается $\ln |z_k|=-\mathrm{\infty }$ при некоторых $k$, перепишем определение в следующем видеШаблон:Sfn:

логарифмически выпуклое множество — множество $M\subset {ℂ}^n$, которое вместе с двумя произвольными своими точками $z^{\prime }$ и $z^{″}$ содержит также и любые точки $z$

$|z|=|z^{\prime }{|}^t|z^{″}{|}^{1-t},$ $t\in (0,1),$

то есть

$|z_k|=|z{\text{'}}_k{|}^t|z^{\prime }{\text{'}}_k{|}^{1-t},$ $k=1,2,\dots ,n.$

Шаблон:Якорь Логарифмически выпуклая оболочка множества (Шаблон:Lang-en) ${\hat{M}}_L$ — пересечение всех логарифмически выпуклых множеств, содержащих исходное множество $M$, другими словами, наименьшее логарифмически выпуклое множество, содержащее исходное множество $M$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Например, для множества

$M=\{z\in {ℂ}^2;\max (|z_1|,|z_2|)<1,\min (|z_1|,|z_2|)<ϵ\}$

логарифмически выпуклая оболочка следующаяШаблон:Sfn:

${\hat{M}}_L=\{z\in {ℂ}^2;\max (|z_1|,|z_2|,\frac{|z_1{z}_2|}{ϵ})<1\}.$

Примеры

Пример 1

Этот пример взят из книги на русском языке, написанной русским математикомШаблон:Sfn.

Рассмотрим некоторое множество $M\subset {ℂ}^2$ с диаграммой Рейнхарта $\alpha (M)$, показанной на рисунке ниже слева. Это множество не относится к логарифмически выпуклым. Логарифмический образ $\lambda (M_0)$ этого множества показана на рисунке ниже справаШаблон:Sfn.

• Диаграмма Рейнхарта и логарифмический образ в C×C
• 
  Диаграмма Рейнхарта логарифмически выпуклой оболочки $\alpha ({\hat{M}}_L)$ некоторого множества $M$ в ${ℂ}^2$ и выпуклая оболочка его логарифмического образа $\lambda (M_0)$

Прообраз выпуклой оболочки логарифмического образа $\lambda (M_0)$ есть логарифмически выпуклая оболочка ${\hat{M}}_L$ множества $M$. Диаграммы Рейнхарта оболочки $\alpha ({\hat{M}}_L)$ и исходного множества $\alpha (M)$ отличаются только сегментом, граница которого показан пунктиром на рисунке. Этот сегмент получен как прообраз треугольника, дополняющего логарифмический образ $\lambda (M_0)$ до выпуклости. Гипотенуза этого треугольника есть отрезок прямой

$\ln |z_2|=\ln |r|+\ln |R|-\ln |z_1|$,

поэтому сегмент выпуклости, добавленный к диаграмме Рейнхарта $\alpha (M)$, ограничен частью следующей гиперболыШаблон:Sfn:

$|z_2||z_1|=|r||R|$.

Пример 2

Этот и следующий примеры взяты из книги на английском языке, написанной голландскими математикамиШаблон:Sfn.

Рассмотрим объединение $S$ двух следующих прямоугольников (см. рис. внизу слева)Шаблон:Sfn:

$S_1=\{(r_1,r_2)\in {ℝ}_{+}^2:r_1<2,r_1<\frac{1}{2}\},$

$S_2=\{(r_1,r_2)\in {ℝ}_{+}^2:r_1<\frac{1}{2},r_1<2\}.$

• Вещественная область и логарифмический образ в R×R
• 
  Логарифмически выпуклая оболочка ${\hat{S}}_L$ некоторого множества $S$ в ${ℝ}_{+}^2$ и выпуклая оболочка ${\hat{S}}^{*}$ его логарифмического образа $S^{*}$

Логарифмический образ $S^{*}$ множества $S$ есть объединение следующих квадрантов — логарифмических образов данных прямоугольников (см. рис. вверху справа):

$S_1^{*}=\{({\rho }_1,{\rho }_2)\in {ℝ}^2:{\rho }_1<\ln 2,{\rho }_2<\ln \frac{1}{2}\},$

$S_2^{*}=\{({\rho }_1,{\rho }_2)\in {ℝ}^2:{\rho }_1<\ln \frac{1}{2},{\rho }_2<\ln 2\}.$

которые содержат точки с координатами $-\mathrm{\infty }$Шаблон:Sfn.

Выпуклая оболочка ${\hat{S}}^{*}$ множества $S^{*}$ образована точками $({\rho }_1,{\rho }_2)$, которые удовлетворяют следующим условиям (см. рис. вверху справа)Шаблон:Sfn:

${\rho }_1<\ln 2,{\rho }_2<\ln 2,{\rho }_1+{\rho }_2<0.$

Логарифмически выпуклая оболочка ${\hat{S}}_L$ множества $S$ образована точками $(r_1,r_2)=(e^{{\rho }_1},e^{{\rho }_2})$, где $({\rho }_1,{\rho }_2)\in {\hat{S}}_L$, то есть точками $r_1,r_2⩾0$, удовлетворяющим следующим условиям (см. рис. вверху слева)Шаблон:Sfn:

$r_1<2,r_2<2,r_1{r}_2=e^{{\rho }_1+{\rho }_2}<1.$

Пример 3

Выпуклая оболочка логарифмического образа несвязного множества

Рассмотрим несвязное множество $S$, представляющее собой объединение изолированной точки

$s=(s_1,s_2,\dots ,s_n)>0$

и следующей окрестности нуля в пространстве ${ℝ}_{+}^n$Шаблон:Sfn:

$0⩽r_j<{ϵ}_j<s_j,j=1,2,\dots ,n.$

Тогда логарифмически выпуклая оболочка ${\hat{S}}_L$ множества $S$ содержит множество точек

$0⩽r_j<s_j,j=1,2,\dots ,n,$

логарифмический образ которого показан на рисунке справа для двумерного случаяШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H