Интегро-дифференциальные уравнения

Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.

$L_n[\phi (x)]-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y,P_m[\phi (y)])dy=f(x)$

где

$L_n[\phi (x)]=\frac{d^n\phi (x)}{{dx}^n}+a_1(x)\frac{d^{n-1}\phi (x)}{{dx}^{n-1}}+...+a_n(x)\phi (x)$ называется внешним дифференциальным оператором, а

$P_m[\phi (y)]=\frac{d^m\phi (y)}{{dy}^m}+b_1(y)\frac{d^{m-1}\phi (y)}{{dy}^{m-1}}+...+b_m(y)\phi (y)$ — внутренним дифференциальным оператором

$K(x,y,P_m[\phi (y)])$ — ядро интегро-дифференциального уравнения

Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.

Классификация интегро-дифференциальных уравнений

Линейные интегральные уравнения

Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:

$L_n[\phi (x)]-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)P_m[\phi (y)]dy=f(x)$

Уравнения Фредгольма

Шаблон:Main Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования

Уравнения Фредгольма 1-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:

$\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)P_m[\phi (y)]dy=f\left(x\right)$

Уравнения Фредгольма 2-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:

$L_n[\phi (x)]-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)P_m[\phi (y)]dy=f(x)$

Уравнения Вольтерры

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования

Уравнения Вольтерры 1-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:

$\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,y)P_m[\phi (y)]dy=f\left(x\right)$

Уравнения Вольтерры 2-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:

$L_n[\phi (x)]-\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,y)P_m[\phi (y)]dy=f(x)$

Нелинейные интегральные уравнения

Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:

$L_n[\phi (x)]-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y,P_m[\phi (y)])dy=f(x)$

См. также

• Интегральное уравнение

Литература

• Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.