Алгебра (универсальная алгебра)

Шаблон:О Шаблон:Другие значения Алгебра (универсальная алгебра) — множество $A$, называемое носителем алгебры, снабжённое набором $n$-арных алгебраических операций на $A$, называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если $\phi :A\to A^{\prime }$ — гомоморфизм алгебр, а $\theta$ — ядерная конгруэнция $\phi$ (то есть $\theta =\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\}$), то факторалгебра $A/\theta$ изоморфна $A^{\prime }$.

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов $𝐀𝐮𝐭A$, моноид эндоморфизмов $𝐄𝐧𝐝A$, решётка подалгебр $𝐒𝐮𝐛A$, решётка конгруэнций $𝐂𝐨𝐧A$, в частности, показано, что для любой группы $G$ и решёток $L_0$ и $L_1$ существует такая универсальная алгебра $A$, что $G\cong 𝐀𝐮𝐭A$, $L_0\cong 𝐒𝐮𝐛A$, $L_1\cong 𝐂𝐨𝐧A$.

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

См. также

• Теоремы об изоморфизме

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Скорняков Л. А. Шаблон:Из