Многочлен Лорана

Многочлен Лорана — линейная комбинация положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами из данного поля. От обычных многочленов многочлен Лорана отличается тем, что показатель степени может быть отрицательным. Многочлены Лорана используются в теории функций комплексного переменного.

Названы в честь Пьера Лорана.

Определение

Многочлен Лорана с коэффициентами из поля $𝔽$ — это выражение вида

$p=\sum _k{p}_k{X}^k,p_k\in 𝔽,$

где X — формальная переменная, $k$ — целое число (не обязательно положительное) и только конечное число $p_k$ не равны нулю.

Два многочлена Лорана равны, если их соответствующие коэффициенты равны. Многочлены Лорана можно складывать и умножать точно также, как и обычные многочлены, но нужно помнить о том, что могут присутствовать отрицательные степени X

$\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)+\left(\sum _i{b}_i{X}^i\right)=\sum _i(a_i+b_i)X^i$

и

$\left(\sum _i{a}_i{X}^i\right)\cdot \left(\sum _j{b}_j{X}^j\right)=\sum _{i,j}{a}_i\cdot b_j\cdot X^{i+j}.$

Так как количество отличных от нуля коэффициентов $a_j$ и $b_j$ конечно, то все суммы будут иметь конечное количество членов и таким образом будут отображать многочлен Лорана.

Свойства

• Многочлен Лорана над полем $ℂ$ может рассматриваться как ряд Лорана с конечным числом неотрицательных коэффициентов.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом кольца дробно-рациональных функций.

См. также

• Ряд Лорана

Литература

• Шаблон:Книга