Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ называется число

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$,

где $M_{ij}$ — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $A$ путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Алгебраическое дополнение элемента — это коэффициент, с которым этот самый элемент входит в определитель матрицы. Это утверждается следующей теоремой:

Теорема (о разложении определителя по строке/столбцу). Определитель матрицы $A$ может быть представлен в виде суммы

$\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

Для алгебраического дополнения справедливо следующее утверждение:

Лемма о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (соответственно столбца) равна нулю, то есть $\sum _{j=1}^n{a}_{i_{1}j}{A}_{i_{2}j}=\sum _{i=1}^n{a}_{i{j}_1}{A}_{i{j}_2}=0$ при $i_1\ne i_2$ и $j_1\ne j_2$.

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
• транспонировать полученную матрицу — в результате будет получена союзная матрица,
• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

См. также

• Минор
• Дополнительный минор
• Определитель