Распределение Парето

Шаблон:Вероятностное распределение Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Определение

Пусть случайная величина $X$ такова, что её распределение задаётся равенством

$F_X(x)=P(X<x)=1-{\left(\frac{x_{\text{m}}}{x}\right)}^k,\mathrm{\forall }x⩾x_{\text{m}},$

где $x_{\text{m}},k>0$. Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Парето с параметрами $x_{\text{m}}$ и $k$. Плотность распределения Парето имеет вид

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{k{x}_m^k}{x^{k+1}},& x⩾x_m,\\ 0,& x<x_m.\end{array}$

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

$𝔼\left[X^n\right]=\frac{k{x}_m^n}{k-n},$

откуда, в частности,

$𝔼[X]=\frac{k{x}_m}{k-1},$

$\mathrm{D}[X]={\left(\frac{x_m}{k-1}\right)}^2\frac{k}{k-2}.$

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины $k$, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

• В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
  • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
  • Аналогичная кривая для популярности имён.
• Распределение размера населённых пунктов.

См. также

• Закон Парето
• Кривая Парето
• Закон Ципфа
• Степенной закон

Литература

• Шаблон:Книга