Число Понтрягина

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и $ω = {k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}$ ― разбиение числа $n$ , то есть набор натуральных чисел, таких что $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n$ .

Рациональное число

P_{ω} = p_{k_{1}} \cup p_{k_{2}} \cup \dots \cup p_{k_{m}} ([M])

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению $ω$ , здесь $p_{i}$ обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
- Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на $H^{n / 2} (M)$ , $n = d i m M$ .
Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс ( $\hat{A}$ -род) замкнутого спинорного многообразия $M$ , то есть индекс оператора Дирака на $M$ .