142 857 (число)

Шаблон:Натуральное число Шаблон:Преамбула натурального числа Оно не является простым числом, а относительно последовательности простых чисел расположено между Шаблон:Ч и Шаблон:Ч.

Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби $\frac{1}{7}$ в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число

Умножение Шаблон:Num на 1,2,3,4,5,6

Если 142 857 умножать на Шаблон:Nums или Шаблон:Num1, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857.

1 × 142 857 = 142 857

2 × 142 857 = 285 714

3 × 142 857 = 428 571

4 × 142 857 = 571 428

5 × 142 857 = 714 285

6 × 142 857 = 857 142

7 × 142 857 = 999 999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999:

Шаблон:08 × 142857 = 1142856Шаблон:0 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)

Шаблон:042 × 142857 = 5999994Шаблон:0 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)

142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на $\frac{5}{10}$ или на $\frac{2}{10}$ соответственно) также можно получить сдвигом:

142 857 / 2 = 71 428.5

142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

$857^2=734449$

$142^2=20164$

$734449-20164=714285$

Как период обыкновенной дроби

Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби $\frac{1}{7}$. Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

1/7 = 0.14285714285714285714…

2/7 = 0.28571428571428571428…

3/7 = 0.42857142857142857142…

4/7 = 0.57142857142857142857…

5/7 = 0.71428571428571428571…

6/7 = 0.85714285714285714285…

Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби). Первые несколько значений Шаблон:Mvar, для которых длина периода дроби 1/Шаблон:Mvar в десятичной записи равна Шаблон:S, равны Шаблон:Nums.

Другие операции

Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.

Другие свойства

142 857 является также числом харшад:

$142857=5291\cdot (1+4+2+8+5+7)$

и числом Капрекара:

$142857^2=20408122449,$

$142857=20408+122449.$

См. также

• Теорема Миди
• Шаблон:Num1
• Эннеаграмма

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга