Поверхность Понтрягина

Пове́рхности Понтря́гина — определённая последовательность двумерных (в смысле размерности Лебега) «размерно неполноценных» континуумов ${\mathrm{\Pi }}_m$. То есть таких, что их гомологическая размерность по данному модулю $m=2,3,..$ равна $1$.

Свойства

• Поверхности Понтрягина вкладываются в четырёхмерное евклидово пространство
• $\dim {\mathrm{\Pi }}_m\times {\mathrm{\Pi }}_k=3<\dim {\mathrm{\Pi }}_m+\dim {\mathrm{\Pi }}_k=4$ при $m=k$

История

Понтрягин построил такие поверхности ${\mathrm{\Pi }}_2$, ${\mathrm{\Pi }}_3$, что их топологическое произведение $\mathrm{\Pi }={\mathrm{\Pi }}_2\times {\mathrm{\Pi }}_3$ есть континуум размерности $3$. Этим была опровергнута гипотеза, что при топологическом перемножении двух (метрических) компактов их размерности складываются. Им же эта гипотеза доказана для гомологической размерности по простому модулю и вообще по всякой группе коэффициентов, являющейся полем. Позже Болтянским был построен двумерный континуум $B$ (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого $B^2=B\times B$ трёхмерен.

Вариации и обобщения

• поверхность Болтянского — двумерный континуум $B$ топологический квадрат которого $B^2=B\times B$ трёхмерен.

Литература

• П. С. Александров Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья