Размерность Лебега

Шаблон:Значения Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $X$ обычно обозначается $\dim X$.

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства $X$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число $n$, обладающее тем свойством, что при любом $\epsilon >0$ существует конечное открытое $\epsilon$-покрытие $X$, имеющее кратность $⩽n+1$;

При этом

• $\epsilon$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\epsilon$, а
• кратностью конечного покрытия пространства $X$ называется наибольшее такое целое число $k$, что существует точка пространства $X$, содержащаяся в $k$ элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число $n$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства $X$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности $n+1$.

При этом покрытие $𝒫$ называется вписанным в покрытие $𝒬$, если каждый элемент покрытия $𝒫$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия $𝒬$.

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

Свойства

• Неравенство

  $\dim (X\times Y)⩽\dim X+\dim Y.$

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства $X$ и $Y$:

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства $X$ совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на $X$.
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство $X$ имеет размерность $\dim X⩽n$ тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия $𝒰=\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in 𝒜}$ пространства $X$ существует вписанное покрытие $𝒱$, которое состоит из $n+1$ подсемейств ${𝒱}_1,{𝒱}_2,\dots ,{𝒱}_{n+1}$ таких, что каждое подсемейство ${𝒱}_i$ состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность $n$-мерного куба равна $n$. Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта $\dim X$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973