Теория размерности
Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.
Типы размерностей
- Индуктивная размерность — большая и малая индуктивные размерности и
- Размерность Лебега
- Гомологическая размерность
- Когомологическая размерность
История
Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности ) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность ). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.
Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.
Определение по Урысону
Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границейШаблон:Sfn.
Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность , если оно не является , но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмернаШаблон:Sfn.
Точку множества отделяет от точки множество если в фигуре не существует связного множества, которое содержит точки и и не пересекается с .
Топологическая фигура размерности определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей Шаблон:SfnШаблон:Sfn.