Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Ри́мана — Сти́лтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Т. И. Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$

рассматривается предел сумм вида

$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(j(x_i)-j(x_{i-1})),$

где интегрирующая функция $j(x)$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)Шаблон:Sfn. Если $j(x)$ непрерывно дифференцируема, то интеграл Стилтьеса выражается через интеграл Римана:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dj(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)j^{\prime }(x)dx,$

если последний существует.

Применения

Интеграл Римана — Стилтьеса имеет многочисленные применения в анализе. Например, всякий линейный непрерывный функционал в пространстве непрерывных на отрезке числовой оси функций может быть записан в форме интеграла Римана — СтилтьесаШаблон:Sfn, всякая абсолютно монотонная при $x<0$ функция может быть представлена в виде суммы константы и интеграла Римана — СтилтьесаШаблон:Sfn, всякая аналитическая функция в круге $|z|<1$ с неотрицательной вещественной частью может быть записана в виде суммы комплексного числа и интеграла Римана — СтилтьесаШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга