Проективный модуль

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение

Модуль $P$ над кольцом $A$ (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма $g:P\to M$ и эпиморфизма $f:N\to M$ существует такой гомоморфизм $h:P\to N$, что $g=fh$, то есть данная диаграмма коммутативна:

Диаграмма для проективного модуля

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль $F$. В самом деле, пусть $x_1,x_2,\dots ,x_i,\dots$ — элементы базиса модуля $F$ и $g(x_i)=y_i$. Поскольку $f$ — эпиморфизм, можно найти такие $z_i$, что $f(z_i)=y_i$. Тогда $h$ можно определить, задав его значения на векторах базиса как $h(x_i)=z_i$.

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль $P$ проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль $K$, что прямая сумма $F=P\oplus K$ свободна. В самом деле, если $P$ есть компонента прямой суммы $F$, которая является свободным модулем, и $g:P\to M$ — гомоморфизм, то $g{p}_1:F\to M$ тоже гомоморфизм ($p_1$ — проекция прямой суммы $F$ на первое слагаемое $P$), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм $h_1:F\to N$, такой, что $g{p}_1=f{h}_1$, отсюда $g{p}_1{i}_1=f{h}_1{i}_1$, где $i_1$ — гомоморфизм включения $P\to F$, отсюда

$g=f{h}_1{i}_1:P\to M$

Обратно, пусть $P$ — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть $g:F\to P$ — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм $id:P\to P$ будет равен $id=gh$ для некоторого $h:P\to F$, так как $P$ проективен. Любой элемент $F$ тогда представим в виде

$x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm{I}\mathrm{m}h\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}g$,

где $\mathrm{I}\mathrm{m}h$ изоморфно $P$.

Свойства

• $P$ проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма $f:N\to M$ индуцированный гомоморфизм $f_{*}:\text{Hom}(P,N)\to \text{Hom}(P,M)$ является эпиморфизмом.
• $P$ проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность $0\to A\to B\to C\to 0$ в точную последовательность $0\to \text{Hom}(P,A)\to \text{Hom}(P,B)\to \text{Hom}(P,C)\to 0$.
• Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. также

• Инъективный модуль
• Резольвента (гомологическая алгебра)

Литература

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — Шаблон:М: ИЛ, 1960
• Маклейн С. Гомология. — Шаблон:М: Мир, 1966..