Проективный объект

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.

Определение

Объект $P$ в категории $𝒞$ называется проективным если для произвольного эпиморфизма $e:E\twoheadrightarrow X$ и морфизма $f:P\to X$ существует морфизм $\bar{f}:P\to E$ для которого $e\circ \bar{f}=f$, то есть диаграмма:

коммутативна.

Свойства

• В локально малой категории $𝒞$, объект $P$ является проективным только если функтор

  $\mathrm{Hom}(P,-):𝒞\to 𝐒𝐞𝐭$

сохраняет эпиморфизмы.

• Пусть $𝒞$ — локально малая абелева категория. В этом случае объект $P\in 𝒞$ является проективным объектом если

  $\mathrm{Hom}(P,-):𝒞\to 𝐀𝐛$

является точным функтором, где $𝐀𝐛$ является категорией абелевых групп.

• Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом.
• Ретракт проективного объекта является проективным.

Примеры

• Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.

• Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.

• Пусть $R$ — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию ${ℳ}_R$ левых $R$-модулей. Проективными объектами в ${ℳ}_R$ являются проективные левые R-модули. В частности $R$ является проективным объектом в ${ℳ}_R.$