Инъективный объект

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Определение

Объект $Q$ категории $C$ называется инъективным, если для любого морфизма $f:A\to Q$ и любого мономорфизма $h:A\to B$ существует морфизм $g:B\to Q$ продолжающий $f$, то есть $g\circ h=f$.

Абелев случай

Исходное определение инъективного объекта было дано для абелева случая (и он остаётся наиболее важным). Если $C$ — абелева категория, то её объект $Q$ называется инъективным тогда и только тогда, когда функтор Hom ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_C(-,Q)$ точен.

Достаточно много инъективных объектов

Говорят, что в категории $C$ достаточно много инъективных объектов, если для любого объекта $X$ категории $C$ существует мономорфизм $f:X\to Q$ в инъективный объект $Q$.

Инъективная оболочка

Мономорфизм $g$ категории $C$ называется существенным, если для любого морфизма $f$ композиция $f\circ g$ является мономорфизмом, только если $f$ является мономорфизмом.

Если $f:X\to G$ — существенный мономорфизм и объект $G$ инъективен, то $G$ называется инъективной оболочкой $X$. Инъективная оболочка единственна с точностью до неканонического изоморфизма.

Обобщение

объект Шаблон:Var есть Шаблон:Var-иньективним если для Шаблон:Var : Шаблон:Var → Шаблон:Var из класса Шаблон:Var, для любого Шаблон:Var : Шаблон:Var → Шаблон:Var существует коммутативная диаграмма.

Пусть $ℭ$ является категорией $\mathscr{H}$ — Класс морфизмов у $ℭ$.

Объект $Q$ категории $ℭ$ называется $\mathscr{H}$-иньективним если для любого морфизма $f:\to Q$ и каждого морфизма $h:\to B$ из класса $\mathscr{H}$ существует морфизм $g:B\to Q$ для которого $g\circ h=f$.

Если $\mathscr{H}$ является классом мономорфизм то получается определение иньективних модулей.

Категория $ℭ$ имеет довольно много $\mathscr{H}$-иньективних объектов если для каждого объекта X категории $ℭ$, существует $\mathscr{H}$-морфизм с X в $\mathscr{H}$-иньективний объект.

Примеры

• В категории абелевых групп инъективные объекты — это делимые группы.

• В категории модулей $R-\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$ инъективные объекты — это инъективные модули. В $R-\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}$ существуют инъективные оболочки, и, как следствие, достаточно много инъективных объектов.

• В категории метрических пространств и коротких отображений инъективные объекты по отношению к экстремальным мономорфизмам — это инъективные метрические пространства.

• Рассматривают также инъективные объекты в более общих категориях, например в категориях функторов или в категориях пучков модулей.

$\mathscr{H}$-морфизм g в $ℭ$ называется $\mathscr{H}$-существенным если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит классу $\mathscr{H}$ только если f принадлежит классу $\mathscr{H}$.

Если g есть $\mathscr{H}$-существенным морфизм с X в $\mathscr{H}$-иньективний объект G, то G называется H-иньективною оболочкой объекта X.

Литература

• Jiri Rosicky. Injectivity and accessible categories.
• Шаблон:Книга